domenica 27 marzo 2011

Ancora su scienza e poesia

Scriveva Italo Calvino nel saggio "La sfida al labirinto" del 1962 (nella raccolta "Una pietra sopra"):

L'atteggiamento scientifico e quello poetico coincidono: entrambi sono atteggiamenti insieme di ricerca e di progettazione, di scoperta e di invenzione.

martedì 22 marzo 2011

La matematica di Ummagumma (Parte 2)

Quale altra meraviglia matematica emerge dalla copertina di "Ummagumma" dei Pink Floyd?
Osserviamo ancora una volta l'immagine del disco (basta scendere un attimo alla prima parte di questo "multi-post"): al primo "livello" di ricorsività, cioè nella prima delle matrioske, troviamo in primo piano, seduto, il chitarrista David Gilmour; dietro di lui riconosciamo il bassista Roger Waters, seduto appena fuori della soglia di casa; il batterista Nick Mason è in piedi nel prato; e sullo sfondo, nella posizione della candela, scorgiamo il tastierista Rick Wright.
Per spostare la nostra attenzione al secondo dei livelli di ricorsività dobbiamo osservare la fotografia appesa al muro; balza subito all'occhio che qui le posizioni occupate dai musicisti e le pose da loro assunte sono le stesse del primo livello: anche qui uno dei membri della band è seduto sulla sedia in primo piano, un altro è seduto per terra fuori della porta, un terzo membro è in piedi nel prato, e l'ultimo sta a testa in giù sullo sfondo.
Ma si nota altrettanto subito che gli stessi posti non sono occupati dalle stesse persone: la successione Gilmour-Waters-Mason-Wright del primo livello è infatti diventata ora Waters-Mason-Wright-Gilmour.
Detto diversamente, il chitarrista, che nella prima scena appariva in primo piano, ora si trova laggiù in fondo a fare yoga, mentre gli altri tre sono avanzati ciascuno di un posto: in particolare il paroliere-bassista si trova ora davanti a tutti.
Spingendoci nei livelli più profondi del ciclo ricorsivo, cosa che ci richiede uno sforzo visivo non indifferente per scavare nell'immagine, la permutazione si ripete altre due volte con la stessa logica. Al terzo livello la successione diventa, ormai prevedibilmente, Mason-Wright-Gilmour-Waters, mentre all'ultimo livello è Wright-Gilmour-Waters-Mason: è a questo punto che la copertina di "A saucerful of secrets" appesa al muro interrompe il loop.


La tabella precedente illustra la situazione che emerge dalla copertina.
I livelli della ricorsione sono associati alle righe della tabella, e le posizioni (o pose) corrispondono alle sue colonne; nelle caselle intermedie viene indicato quale musicista occupa una certa posizione ad un certo livello.
Non è difficile notare che su ogni riga e su ogni colonna della tabella i quattro componenti del gruppo appaiono ciascuno esattamente una volta.
Ciò equivale a dire che ad ogni livello sono presenti i quattro musicisti, ciascuno dei quali associato ad una delle posizioni standard, e ognuno degli accoppiamenti musicista-posizione è unico, cioè non compare mai in più di un livello.
Una struttura matematica di questo tipo, in cui un certo numero di oggetti (in questo caso i quattro musicisti) sono associati ad altrettanti oggetti (le posizioni) in altrettanti modi tra loro completamente diversi (i livelli) viene chiamata "quadrato latino".


Chiaramente, se a realizzare "Ummagumma" fossero stati, anziché i Pink Floyd, gli Emerson Lake & Palmer, che erano in tre, il gioco si sarebbe dovuto sviluppare su tre livelli e tre posizioni, e non su quattro; analogamente, i Genesis della formazione classica avrebbero dovuto spaziare su cinque livelli e cinque posizioni.
In altre parole, questi gruppi avrebbero creato quadrati latini con lati di tre o cinque caselle, e non di quattro.

A scanso di equivoci, un quadrato latino non ha necessariamente a che fare con la ricorsività: accidentalmente nella copertina di "Ummagumma" intervengono entrambi questi concetti, intrecciati tra di loro (e questa straordinaria coincidenza mi ha ispirato questo doppio post), ma solitamente i quadrati latini non c'entrano nulla con strutture ricorsive.

Un semplice quadrato latino estraneo a questioni di ricorsività lo possiamo realizzare in casa con un mazzo di carte da gioco. Immaginiamo di estrarre i quattro re, le quattro regine, i quattro fanti e i quattro assi, e di voler disporre queste 16 carte in un quadrato 4x4, in modo che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro diversi tipi di carte, senza ripetizioni. Vogliamo insomma che sulla prima riga ci siano un re, una regina, un fante e un asso, non importa in che ordine, e lo stesso deve accadere su ciascuna delle altre righe e su ciascuna delle colonne.
Una configurazione che soddisfi questi vincoli (come quella illustrata nella figura a lato) è ovviamente un quadrato latino: in questo caso, infatti, al posto dei quattro Pink Floyd abbiamo le quattro figure (re, regina, fante, asso), mentre le quattro colonne del quadrato giocano il ruolo delle quattro pose della copertina di "Ummagumma".

Il modo più semplice e comune di compilare un quadrato latino di lato N è quello di disporre nella griglia NxN i numeri da 1 a N, facendo attenzione che in ogni riga e in ogni colonna non si abbiano ripetizioni.
Chi si diletta a giocare a sudoku si sarà già reso conto che quel rompicapo altro non è che la ricerca di un quadrato latino 9x9: l'unica complicazione consiste nel fatto che, oltre alle righe e alle colonne, occorre considerare anche le sottogriglie interne 3x3.

Naturalmente nessuno ci impedisce di usare, al posto dei numeri, altri simboli: ad esempio colori (come nel quadrato latino qui a lato), lettere o quello che volete voi.

Ma torniamo al nostro quadrato di carte di gioco, complicando un po' le cose.
Ora non vogliamo soltanto che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro tipi di carte, senza ripetizioni, ma anche che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro semi, anche loro senza ripetizioni.
Quello che otterremo sarà una specie di sovrapposizione tra due quadrati latini: i matematici la chiamano "quadrato greco-latino".
Come comporre una simile struttura di carte da gioco? Semplice, anzi ce l'abbiamo già! Se andate a controllare, infatti, il quadrato latino che abbiamo creato poco fa con le figure delle carte da gioco, è anche un quadrato greco-latino, se in esso teniamo in considerazione anche i semi delle carte.

Perché queste strutture matematiche vengono chiamate "quadrati latini" e "quadrati greco-latini"? Leonhard Euler, il grande matematico svizzero del Settecento, noto in Italia come Eulero, fu il primo a usare questi reticoli, e introdusse la convenzione di usare, per i primi, lettere dell'alfabeto latino (nello stesso ruolo delle figure del nostro mazzo di carte), e, per i secondi, coppie formate da lettere latine e lettere greche (nel ruolo delle figure e dei semi).
In un post futuro parlerò delle applicazioni dei quadrati latini e greco-latini, soprattutto nella progettazione di esperimenti in biologia, medicina e sociologia, e di come i matematici e gli informatici si siano cimentati a lungo nel problema di ricercare quadrati latini e greco-latini di dimensioni sempre più grandi.

Se la copertina di "Ummagumma", uscita nel 1969, incasellava i quattro Pink Floyd in un sorprendente quadrato latino 4x4, nove anni dopo lo scrittore francese Georges Perec (nella foto sotto) scrisse addirittura un intero romanzo, il celebre "La vita, istruzioni per l'uso", basandosi su un quadrato greco-latino 10x10 (Eulero aveva ipotizzato che non esistessero quadrati greco-latini di tale dimensione, ma si era sbagliato: nel 1959 i matematici Bose, Parker e Shrikhande ne scoprirono uno).
Il blog Popinga ha parlato di questo argomento in un suo post di circa due anni fa (mi scuso quindi se ripeterò qui alcune delle cose scritte in quel post).

Il libro di Perec descrive un condominio parigino costituito da 99 stanze disposte su dieci piani. Ogni capitolo è ambientato in una stanza, ragione per cui il romanzo è composto da 99 capitoli.
Cosa c'entra il quadrato greco-latino 10x10 scoperto nel 1959? E' presto detto.
Perec compilò 42 elenchi (esercizio assai di moda ultimamente), ciascuno formato da dieci elementi che potevano essere utilizzati come "vincoli narrativi". Ad esempio, compose un elenco di citazioni letterarie, uno di località geografiche, uno di animali, e così via.
Divise quindi gli elenchi in 21 coppie, e utilizzò 21 volte il quadrato greco-latino 10x10, riempendone ogni volta le caselle con coppie di elementi presi dai due elenchi, esattamente come noi avevamo disposto, poco fa, coppie di figure e semi in un quadrato greco-latino 4x4.
Ovviamente ogni casella del quadrato 10x10 corrispondeva ad una delle stanze, e quindi a uno dei capitoli del romanzo. Il quadrato greco-latino ebbe quindi l'effetto di far corrispondere ad ogni stanza 21 coppie di elementi presi dai 42 elenchi. Questi elementi furono utilizati da Perec come "vincoli narrativi": ad esempio, una delle coppie associate ad una stanza poteva prescrivere di menzionare, nella narrazione del capitolo corrispondente, una certa citazione letteraria e una particolare località geografica.

giovedì 17 marzo 2011

La matematica di Ummagumma (Parte 1)

Nel fatidico anno 1969, i Pink Floyd, dopo i primi due album "The piper at the gates of dawn" e "A saucerful of secrets", nei quali era evidente la matrice psichedelica ed era stato fondamentale il contributo di Syd Barrett, realizzarono un disco molto diverso, più orientato verso i canoni del rock progressivo, al quale venne dato un titolo bizzarro: "Ummagumma".
Chi prendesse per la prima volta in mano quest’album, nella sua pregiata versione in vinile, o anche nella meno romantica edizione in CD, sicuramente sarebbe attratto dalla strana immagine di copertina. Alle spalle di David Gilmour seduto in primo piano, si nota una fotografia incorniciata e appesa al muro, e gli altri componenti del gruppo, in posizioni diverse fuori dalla porta di casa.
Fin qui nulla di strano. Ma se osserviamo bene la fotografia sul muro, vi notiamo una scena del tutto simile a quella dell’intera immagine di copertina: questa volta però è Roger Waters a essere seduto in primo piano, gli altri tre musicisti si trovano fuori dalla porta e sul muro, un’altra fotografia analoga alla precedente.

Com’è possibile? Stiamo impazzendo? No, semplicemente ci troviamo di fronte ad un sistema di matrioske, o di scatole cinesi. O, se volete, stiamo osservando un esempio interessante di ricorsività, o ricorsione, come amano dire gli informatici. La ricorsività si viene a creare ogniqualvolta un oggetto contiene una copia di se stesso, o fa in qualche modo riferimento a se stesso. Qualcosa di molto simile all’autoreferenzialità.
E’ chiaro che il gioco ricorsivo della copertina di "Ummagumma" potrebbe concettualmente proseguire all’infinito: ogni fotografia contiene una copia di se stessa, e solo interrompendo la successione in qualche modo si può uscire da questo folle circolo vizioso.
Se guardiamo la copertina ancora più in profondità, in effetti, ci accorgiamo che al quarto livello della ricorsione la fotografia appesa al muro non raffigura più la scena complessiva ma, con un colpo di teatro che ha del geniale, contiene la copertina del precedente album dei Pink Floyd: "A saucerful of secrets"!

Ecco quindi un brillante esempio di ciclo di ricorsione che, dopo un certo numero di ripetizioni, si arresta. E’ come avere un certo numero di matrioske, ciascuna delle quali ne contiene un’altra: prima o poi, inevitabilmente, troveremo una matrioska vuota, o, se volete, una matrioska contenente un oggetto che non è una matrioska.

Gli informatici conoscono bene il concetto di ricorsione, perché per risolvere alcuni problemi o per effettuare certi tipi di calcoli, è comodo servirsi di procedure che, ad un certo punto dell’esecuzione, invocano loro stesse, generando così una sequenza di chiamate che ha termine soltanto quando si verifica una situazione particolare: un po’ come la matrioska vuota o come l’improvvisa comparsa della copertina di "A saucerful of secrets" nella cornice appesa al muro!
Ad esempio, esiste in matematica una funzione particolare, chiamata "fattoriale", molto usata dagli statistici. Com'è noto, il fattoriale di un numero si calcola moltiplicando tra loro tutti i numeri interi da 1 fino a quel numero. Ad esempio il fattoriale di 3 è uguale a 1 x 2 x 3, cioè 6. Quanto è invece il fattoriale di 4? Bè, è uguale a 1 x 2 x 3 x 4, cioè a 24. Ma allora, direte voi, il fattoriale di 4 si può calcolare anche come il fattoriale di 3 (che è 6) moltiplicato per 4!
Immaginate di essere dei programmatori, e di dover scrivere una procedura informatica per calcolare il fattoriale di un numero qualsiasi. Potreste scrivere un programma ricorsivo, che prende il numero di partenza e lo moltiplica per il fattoriale del numero intero immediatamente precedente: ad esempio, come abbiamo visto, per calcolare il fattoriale di 4 usiamo il fattoriale di 3, per calcolare il fattoriale di 3 usiamo quello di 2, e così via.
Attenzione però: una volta arrivati al fattoriale di 0, non potreste ricorrere al fattoriale di -1, perché in questo modo fareste un bel buco per terra e comincereste a scavare nei numeri negativi, all’infinito, creando disastri! Da bravi programmatori dovrete ricordarvi di "A saucerful of secrets" o della matrioska vuota, che in questo caso è il fattoriale di 0: quando si arriva a 0, qui dovete fermarvi, e tener conto che il fattoriale di 0 è semplicemente 1!

Il concetto di ricorsività non appartiene soltanto alla matematica o all'informatica, ma anche, solo per fare alcuni esempi, alle arti figurative, alla letteratura, al cinema. Negli anni settanta, sulla scatola di uno dei prodotti di Droste, una marca olandese di cacao, era disegnata un’infermiera che reggeva in mano un vassoio con una tazza e una scatola della stessa marca. Il giornalista olandese Nico Scheepmaker coniò il termine "effetto Droste", per indicare immagini contenenti versioni ridotte di se stesse.
Un’espressione che è quasi un sinonimo di "effetto Droste" è "mise en abyme", in francese "messo nell’abisso". L’origine del termine va cercata nell’araldica, dove indica uno stemma che contiene un piccolo scudo all’interno di uno scudo più grande. Oggi, si parla di "mise en abyme" soprattutto nella critica letteraria, artistica e cinematografica, per indicare storie ricorsive strutturate a matrioska.


Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska:
io sognavo di sognare che un abate un po' cruento
dopo avermi esaminato mi ordinava di svegliarmi.
Io ubbidiente gli ubbidivo, cioè sognavo di svegliarmi
e me lo ritrovavo accanto con quel fare suo cruento,
lui che mi riesaminava, io che gli chiedevo affranto:
"Dimmi, abate, perché insisti nell'esaminarmi attento?
Ho commesso forse un atto che fu inviso all'abbazia?"
Egli, colto alla sprovvista, non sapendo fare meglio,
mi ordinò seduta stante di procedere a un risveglio.

(da "Abate cruento", di Elio e le Storie Tese)

Stefano Belisari, in arte Elio, è laureato in ingegneria elettronica, e certamente la ricorsione come concetto informatico ha un ruolo chiave in questo testo surreale, in cui la procedura "sogno" viene invocata (per usare un termine informatico) due volte: la prima volta, se così posso dire, dal programma principale, e la seconda volta dalla procedura stessa, appunto in modo ricorsivo. In entrambi i casi l'esecuzione della procedura termina a causa del comando dell'abate cruento, il quale ordina di "procedere a un risveglio". Dopo la prima uscita ci ritroviamo all'interno della procedura stessa, al primo livello di ricorsione, e dopo la seconda uscita ritorniamo al livello di partenza, quello del programma principale.

Un celebre esempio è offerto dall’Amleto di Shakespeare, nel quale a un certo punto i personaggi mettono in scena una tragedia che è molto simile all’Amleto stesso: l’Amleto, quindi, contiene dentro di sè un altro Amleto, il quale ne contiene un altro, e così via all’infinito.
Esempi più moderni di "teatro nel teatro" ce li propone Pirandello: nei suoi "Sei personaggi in cerca d’autore", lo spazio rappresentato sul palco del teatro è a sua volta il palco di un teatro, e i personaggi recitano la parte di attori che stanno provando un'altra opera teatrale di Pirandello, "Il gioco delle parti".
La letteratura moderna, d’altra parte, è piena di strutture ricorsive e giochi autoreferenziali, da "Aspettando Godot" di Samuel Beckett, a "Se una notte d’inverno un viaggiatore" di Italo Calvino, a molti racconti di Borges.
Anche il cinema ha fatto spesso uso di vertiginosi giochi di "mise en abyme": si pensi ad esempio al film "eXistenZ" di David Cronenberg, o ad "Inception" dell’anno scorso.


L’arte figurativa, soprattutto quella moderna, non è da meno. In alcuni famosi dipinti raffiguranti pipe, René Magritte compie una riflessione sulla differenza tra realtà e rappresentazione, giocando in modo molto profondo con i paradossi dell’autoreferenza. Ma l’artista che più di ogni altro ha affrontato le sottigliezze della ricorsione è il grafico olandese Maurits Cornelis Escher, famoso per i suoi disegni di costruzioni impossibili, distorsioni geometriche e tassellature del piano: potremmo citare la ricorsività intrecciata in "Mani che disegnano", dove una mano che impugna una matita sta disegnando su un foglio un'altra mano, la quale, a sua volta – ed ecco il paradosso - disegna la prima mano…

Tornando a "Ummagumma", il disco che ha offerto lo spunto per parlare di ricorsività, non posso evitare di notare che questa copertina ci regala anche un altro magnifico pretesto matematico: ma di questo parlerò nel prossimo post.

venerdì 11 marzo 2011

Audrey Hepburn, la Bocca della Verità e il filosofo ostinato

Mr. Palomar e il suo amico Mr. Wilson sono appassionati di cinema, e amano soprattutto i vecchi film americani degli anni Cinquanta.
Una delle ultime sere si sono trovati per rivedere insieme "Vacanze romane", celebre film del 1953 con Audrey Hepburn e Gregory Peck. In una delle scene della pellicola, ovviamente girata nella Città Eterna, Peck accompagna la Hepburn alla Bocca della Verità, e la invita a provare l'esperienza che ogni turista in visita a Roma ha sperimentato: introdurre la mano per qualche secondo nel temibile buco, sperando di poterla tirar fuori sana e salva. Audrey supera indenne la prova, e pretende poi che anche il suo amico si sottoponga allo stesso esame.
Alla fine del film, Mr. Palomar e Mr. Wilson discutono sulla scena della Bocca della Verità. A un certo punto, Mr. Wilson ipotizza una bizzarra variante alla scena.


- Immagina che Audrey Hepburn, nell'atto di introdurre la mano nella Bocca, avesse detto "Non riuscirò mai a tirar fuori la mia mano!"
- Perché mai dovrei immaginare questo? - ribatte Mr. Palomar.
- Bè, tu immaginalo.
- Va bene, lo immagino. E allora?
- Sai bene che, secondo la leggenda, l'antico mascherone punisce i bugiardi e gli adulteri, mordendo loro la mano.
- Sì, lo so. E con questo? Dove vuoi arrivare?
- Se dobbiamo credere alla leggenda, cosa possiamo dedurre dalla scena modificata?
Mr. Palomar riflette per qualche minuto. E' ormai abituato agli enigmi di logica inventati seduta stante dal suo amico, e tutto sommato non gli dispiace stare al gioco.
- Se Audrey dice che non riuscirà a tirar fuori la mano, significa che è una bugiarda! - risponde alla fine della sua riflessione.
- Esatto. Ma se è bugiarda, anche quello che ha appena detto è una bugia - puntualizza Mr. Wilson.
- Già. Quindi non è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano!
- E allora, come la mettiamo?
- Se non è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano, vuol dire che la tirerà fuori - deduce Mr. Palomar.
- Di conseguenza, non è più bugiarda! - conclude Mr. Wilson.
- Com'è possibile? - replica Mr. Palomar, sconcertato - é bugiarda o no?
- Siamo caduti in un circolo vizioso. Se non è più bugiarda, ciò che aveva affermato all'inizio è vero, e quindi è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano, e quindi è di nuovo bugiarda, e allora...
- Ho capito - lo interrompe Mr. Palomar - Non è possubile uscire da questo cerchio infinito. Gli informatici direbbero che siamo finiti in un loop.
- Non è altro che un paradosso. E anche famoso. Già gli antichi greci lo conoscevano, e lo chiamavano il paradosso del mentitore. Pare che sull'epitaffio di un filosofo greco, un certo Fileta di Cos, ci fosse scritto "Fu il Mentitore a farmi morire, con le cattive notti che mi procurò". Insomma sembra che questo Fileta, nello sforzo ostinato di risolvere questo paradosso, si fosse così spremuto le meningi da rimanerci secco!
- Fatica sprecata, direi. Abbiamo capito facilmente che non c'è via d'uscita.
- Già, ma evidentemente per lui era diventata una questione di orgoglio.
- Oppure semplicemente non aveva avuto la possibilità di vedere il film che abbiamo visto noi. Per cui non aveva capito bene il paradosso.
- Già, e non aveva mai visto Audrey Hepburn. Cosa si sono persi, questi antichi greci.