domenica 29 luglio 2012

Carnevale della Matematica: agosto si avvicina...

Scrivo questo post per ricordare a tutti gli amici blogger che il prossimo Carnevale della Matematica sarà ospitato da me medesimo presso questo stesso blog: per questo, vi invito a scrivermi entro domenica 12 agosto (l'indirizzo è paoloaless@gmail.com) per segnalarmi tutti i vostri post di carattere matematico che desiderate vedere comparire nel post carnevalizio.
Se poi volete addirittura rispettare il tema, cosa tradizionalmente facoltativa, sappiate che è "connessioni, nessi, legami, collegamenti, relazioni..."
Mi raccomando: non trascurate il Carnevale ferragostano, non dimenticatevi di segnalarmi i vostri post!

sabato 28 luglio 2012

Carnevale dei libri di scienza #9 e #10

Le ultime due edizioni del Carnevale dei Libri di Scienza, l'iniziativa mensile ideata da Daniele Gouthier di Scienza Express per celebrare i libri scientifici, non hanno visto la partecipazione di Mr. Palomar; questo non è però un buon motivo per lasciarle passare senza una meritata segnalazione.
La puntata numero 9 è stata ospitata a fine giugno dal blog "Evolve or die" di Patrizia Martellini, con il tema "Le piante".
L'edizione di luglio, la numero 10, è stata allestita da Palmiro Poltronieri sul blog Knedliky, con l'argomento incentrato su "Scienza e salute".
Le due edizioni hanno visto come sempre la partecipazione di molti blogger con interessanti recensioni, segno che questo Carnevale è ormai entrato nella maturità e considerarsi un'iniziativa consolidata.
Complimenti a tutti i partecipanti e agli organizzatori. Da parte sua, Mr. Palomar promette che dalla prossima edizione tornerà a contribuire con maggiore assiduità!

domenica 15 luglio 2012

Carnevale della Matematica #51 su Popinga

La memorabile scena dell'esplosione della villa in Zabriskie Point di Michelangelo Antonioni, sottolineata dalle note dei Pink Floyd, è il grandioso incipit dell'edizione n. 51 del Carnevale della Matematica, ospitata dal mai abbastanza elogiato Popinga.
Che c'entra Zabriskie Point con il Carnevale? Bè, il brano di sottofondo è un rifacimento di Careful with that axe, Eugene, che i Pink Floyd ribattezzarono per l'occasione Come in number 51, your time is up.
Popinga (e ormai come stupirsi di ciò?) ci accompagna in un Carnevale ricchissimo e ottimamente allestito. Per l'occasione i temi erano due: La matematica francese da François Viète a Cédric Villani (per celebrare la ricorrenza del 14 luglio) e Matematica e sport (per ricordare i Giochi Olimpici che si svolgeranno a Londra tra pochi giorni).
Quindi, coraggio, non dimenticate di leggere questa notevole puntata del Carnevale, alla quale anche Mr. Palomar contribuisce con tre post.
Bravo Popinga e bravo (alla francese) a tutti gli amici blogger partecipanti!
La prossima edizione del Carnevale della Matematica, la n. 52, sarà ospitata, udite udite, proprio da questo blog, con il tema Connessioni, nessi, legami, collegamenti, relazioni...
Con questo tema, ovviamente facoltativo come sempre, vorrei invitare i contributori a immaginare post che esplorino il concetto di legame e connessione all'interno della matematica, ma anche, perché no, articoli che indaghino i collegamenti che esistono tra matematica e altri spazi... insomma, fate voi, sono certo che saprete declinare l'argomento molto meglio e con più fantasia di quanto possa pensare io.
Deadline: domenica 12 agosto a mezzanotte (segnalazioni da inviare a paoloaless@gmail.com).
Buon Carnevale a tutti!

venerdì 13 luglio 2012

Platone, Archimede e i palloni da calcio

Si fa presto a dire "sfera". Molti telecronisti calcistici usano disinvoltamente questo termine nel riferirsi al pallone di cuoio preso a calci da ventidue baldi e giovani milionari. 
Ma il pallone da calcio è davvero una sfera? No, anche perché fabbricare palle perfettamente sferiche non è cosa facile. La natura è abilissima nel creare oggetti sferici, ma noi umani troviamo più agevole approssimare questa forma perfetta con solidi dotati di molti lati cuciti insieme.

In alcuni sport, peraltro, la palla deve essere perfettamente sferica: è ad esempio il caso del ping pong. Le palline usate in questo sport vengono costruite fondendo assieme due semisfere di celluloide, in un processo industriale che comporta anche il 95% di palline riuscite male e quindi da scartare. Nel suo bel libro "L'equazione da un milione di dollari", Marcus du Sautoy spiega che le palline così fabbricate vengono sparate in aria da un cannone: quelle  difettose deviano verso destra e sinistra, mentre quelle buone procedono dritte, in una zona del poligono di tiro dove vengono raccolte e inscatolate.

I palloni da calcio, invece, non sono mai esattamente sferici. Se osserviamo da vicino un pallone, ci accorgiamo che di solito esso è formato da diversi esagoni e pentagoni regolari cuciti tra di loro.
Nella sua opera Timeo, il filosofo Platone descrisse i solidi regolari, che oggi chiamiamo "platonici". Per "regolare" si intende che il solido deve essere delimitato da un certo numero di poligoni uguali tra di loro e deve avere spigoli e angoli tutti equivalenti tra di loro. Euclide dimostrò che esistono soltanto cinque solidi che godono di queste proprietà: il tetraedro, il cubo (o esaedro), l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Platone associò ciascuno di questi solidi ad uno degli elementi fondamentali: il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l'ottaedro all'aria, l'icosaedro all'acqua, il dodecaedro all'universo nel suo complesso.
Se andate in uno di quei negozi che vendono giochi di ruolo e articoli collegati, troverete facilmente confezioni di dadi dalla forma platonica, come quelli nella figura seguente:


Potremmo utilizzare qualcuno dei dadi platonici come pallone da calcio? Bè, forse taluni fantasisti del football riuscirebbero a giocare anche con una palla tetraedrica, cubica o ottaedrica, ma non si tratta certo delle forme ideali per giocare a calcio (o a qualsiasi altro sport). Rimangono il dodecaedro e l'icosaedro.
Chiaramente, tanto più numerosi sono i lati del solido, meglio ci si approssima alla figura della sfera perfetta, e non stupisce quindi che il solido platonico dal quale dobbiamo partire per arrivare a fabbricare il nostro pallone da calcio è quello col maggior numero di facce: l'icosaedro, delimitato da 20 triangoli equilateri.
Certo, si potrebbe provare a giocare una partita di calcio con un pallone icosaedrico: ma non è che smussando ulteriormente gli spigoli di questo solido si possa ottenere qualcosa di ancora più vicino alla sfera?
Questo è probabilmente il ragionamento che fece un altro gigante dell'antichità, Archimede di Siracusa: non che il grande matematico fosse interessato a brevettare la palla perfetta per i Mondiali di calcio (che ancora non esistevano), ma certamente il suo intento era quello di "perfezionare" i solidi platonici, e vedere cosa accadeva utilizzando come facce del solido due o più poligoni regolari, anziché uno soltanto.
L'impresa di Archimede non era delle più facili: prima di tutto le facce, benché di tipi diversi, dovevano potersi cucire perfettamente tra di loro (e quindi avere la stessa lunghezza); inoltre il solido doveva mantenere  complessivamente una certa simmetria (e ciò significava che i vertici dovevano essere tra di loro identici).
Alla fine Archimede trovò che esistevano 13 solidi di questo tipo.
Uno di questi, l'icosaedro troncato, ottenuto dall'icosaedro platonico smussando i vertici e sostituendoli con dei pentagoni regolari, è il modello utilizzato per fabbricare la maggior parte dei palloni da calcio.  Il solito ottenuto ha complessivamente 32 facce: classicamente le 12 facce pentagonali sono colorate in nero, e le 20 facce esagonali in bianco. Quante cuciture sono necessarie? I lati dei poligoni sono in tutto 12 x 5 + 20 x 6 = 180, ma dato che ciascuna cucitura congiunge due lati, le cuciture sono in tutto 90 (come i minuti di una partita).


L'icosaedro troncato è un'ottima approssimazione della sfera. Il suo volume è circa l'86,74% di quello della sfera circoscritta, ma quando il pallone viene gonfiato le facce si curvano e la percentuale di approssimazione supera il 95%.
Esistono solidi archimedei che, essendo forniti di un numero maggiore di lati rispetto all'icosaedro troncato, potrebbero costituire approssimazioni migliori della sfera: ad esempio il rombicosidodecaedro, oppure il dodecaedro camuso, ma in questi casi il numero di cuciture necessarie renderebbero il processo di fabbricazione troppo complicato.

Pirlo e compagni si accontentino quindi dell'icosaedro troncato, che peraltro è stato il modello dei più famosi palloni della storia del calcio: dal mitico Telstar, usato nei Mondiali del Messico del 1970 al celebre Tango, protagonista in Argentina nel 1978 e in Spagna nel 1982.

Ai Mondiali tedeschi del 2006, invece, fu utilizzato un pallone che fu presentato come il più sferico della storia del calcio. Era formato da 14 pezzi curvi, e prendeva spunto da un altro dei solidi archimedei: l'ottaedro troncato.
Onore quindi a Platone e ad Archimede, che possono essere a ragione considerati come i veri progettisti dei moderni palloni da calcio.

lunedì 9 luglio 2012

Mr. Q #4: Peter Shor e l'applicazione killer del computer quantistico

Anche se con imperdonabile ritardo, ecco il post che mette la parola fine a questa serie di interventi sulla computazione quantistica.
Avevo interrotto il post precedente introducendo (con l'inatteso aiuto dei Genesis) il concetto di entanglement tra qubit: due registri (o, più astrattamente, due stati quantici), apparentemente non legati tra di loro da una relazione di causa-effetto, risultano "aggrovigliati", in modo tale che se uno assume un certo valore allora l'altro sarà vincolato ad assumere un valore ben preciso e non altri.
Così, se due qubit assumono lo stato di sovrapposizione |00> + |11>, andando a misurare i valori potremmo trovare i valori 00 e 11, ma mai 01 o 10. Lo stato |00> + |11> è quindi una sovrapposizione "aggrovigliata", o entangled; in altri termini, questo stato non può essere fattorizzato in due stati indipendenti (|0> + |1>)(|0> + |1>).
L'entanglement è la chiave della potenza della computazione quantistica. Grazie a porte come la C-NOT descritta nel post precedente, gli studiosi sono riusciti a costruire circuiti quantistici in grado di sfruttare i fenomeni quantistici (come l'entanglement) per eseguire calcoli complessi in modo più efficiente rispetto ai modelli computazionali classici.

Nel 1985, il già ricordato fisico inglese David Deutsch pubblicò un articolo fondamentale, intitolato "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer", nel quale forniva una prima dimostrazione delle possibilità computazionali insite nei sistemi quantistici.

Nove anni dopo, un informatico teorico americano, Peter Shor, propose una sorprendente applicazione del modello di calcolo quantistico: un metodo per calcolare i fattori primi di un numero, eseguibile in modo efficiente con un computer quantistico.
Com'è noto, ogni numero naturale può essere espresso come prodotto di più numeri primi, e per ogni numero esiste un solo modo di fattorizzarlo (a meno dell'ordine dei fattori): questo fatto è talmente basilare che assume l'altisonante nome di "teorema fondamentale dell'aritmetica". Ora, se prendiamo un numero molto grande, formato ad esempio da centinaia di cifre, e proviamo a determinare i suoi fattori primi, scopriamo che il problema è molto difficile, e potrebbe richiedere anni o secoli per essere risolto, anche disponendo di un computer molto potente.
Perché? Semplicemente perché i metodi più efficienti che sono stati scoperti per eseguire questo calcolo non sono, in generale, molto migliori del metodo più "stupido" possibile, quello basato sulla cosiddetta "forza bruta": provare a dividere il numero di partenza per tutti i numeri ad esso inferiori finché se ne trova qualcuno che è un divisore esatto, e ripetere l'operazione con il risultato della divisione.
Nel 1994, invece, Shor dimostrò che, potendo utilizzare un computer quantistico, con tutto il suo armamentario di porte come la C-NOT, le sovrapposizioni quantiche, l'entanglement e così via, era possibile implementare un algoritmo di fattorizzazione molto più veloce di quelli classici.
Il lavoro di Shor era squisitamente teorico, in quanto nel 1994 non esistevano computer quantistici reali (e oggi la situazione non è profondamente mutata): ma agli studiosi apparve subito evidente l'importanza del risultato dell'informatico statunitense. Molti di voi sanno che la sicurezza dei sistemi di crittografia che proteggono i nostri dati su internet (ad esempio i numeri delle carte di credito usate nelle transazioni sulla rete) si basa sulla difficoltà di fattorizzare grandi numeri.
Il ragionamento che venne fatto all'indomani della pubblicazione dell'articolo di Shor, era quindi il seguente: "se qualcuno domani costruisse un computer quantistico e ci facesse girare l'algoritmo di Shor, tutti i sistemi di sicurezza della rete crollerebbero come un castello di carte, e forse la finanza internazionale farebbe la stessa fine."

L'algoritmo di Shor si candidò immediatamente come l'"applicazione killer" della computazione quantistica; eppure, pochi anni prima lo stesso Deutsch si era mostrato scettico a proposito della possibilità di escogitare un algoritmo quantistico efficiente per la fattorizzazione di grandi numeri.
Shor riuscì sorprendentemente in questa "missione impossibile", dimostrando al tempo stesso che il computer quantistico, da innocente giocattolo teorico, interessante solo per i ricercatori e per i matematici, poteva trasformarsi in una bomba dalle conseguenze inimmaginabili nel campo della sicurezza informatica.
Ad oggi, gli sforzi compiuti nella realizzazione pratica del computer quantistico non hanno ancora portato al risultato finale, per cui la bomba di Shor non è ancora esplosa; tuttavia, i continui progressi nella teoria del calcolo quantistico promettono sempre livelli di potenza computazionale sempre crescenti.
Nessuno sa se un giorno, più o meno lontano, potremo utilizzare, sulla nostra scrivania, un computer quantistico al posto dell'attuale computer "classico"; ma è fuori di dubbio che la ricerca teorica svolta fin qui sull'argomento ha svelato l'esistenza di un mondo affascinante che mette assieme due settori apparentemente lontani come l'informatica e la fisica quantistica, e che fino a pochi decenni fa era completamente sconosciuto.