mercoledì 26 dicembre 2012

La ragazza che piegava la carta

Prendete un foglio di giornale, e piegatelo in due.
Facile? Sì, certo, ma adesso piegatelo a metà una seconda volta, e poi una terza, e una quarta.
Fatto? Ora, prendete della colla vinilica, e....  No, niente colla, e niente forbici: solo piegature.
Quante volte siete riusciti a piegare il foglio? Probabilmente sei, o, se siete particolarmente abili, forse sette. Quasi certamente non siete riusciti a fare di meglio.
- Bè - direte voi - il problema è che il foglio di giornale non è molto grande, e, dato che ad ogni piegatura l'area si dimezza, ci si ritrova ben presto con un oggetto così piccolo che non è possibile piegarlo ulteriormente.
Se la pensate così, procuratevi un foglio più grande, e ripetete l'operazione.

Se potessimo piegare una quarantina di volte un foglio di carta, riusciremmo a coprire la distanza tra la Terra e la Luna.
Ma è sufficiente disporre di un foglio abbastanza grande per riuscire a piegarlo per una tale quantità di volte?
Se vi siete procurati un foglio molto più grande di quello che avete utilizzato per il primo esperimento, potete provare voi stessi a verificare.

Tuttavia, molto probabilmente non riuscirete ad andare oltre le sette pieghe.
Perché? Semplicemente perché la difficoltà non risiede nell'ampiezza del foglio, ma nello spessore che si viene a creare dopo poche piegature. Ad ogni piega, infatti, così come l'area si dimezza, lo spessore raddoppia. Inoltre, piega dopo piega aumenta esponenzialmente il materiale che si "perde" a causa dell'arrotondamento in corrispondenza dell'estremità della piega.
Se utilizziamo carta dallo spessore di 0,3 mm, dopo appena 5 pieghe avremo ottenuto 25 = 32 strati, per uno spessore complessivo di 32 x 0,3 mm = 9,6 mm.  Dopo un'altra piega si hanno 64 strati e uno spessore di quasi 2 cm, mentre alla settima piega abbiamo ben 128 strati e quasi 4 cm. Spessori di questo tipo, indipendentemente dalla grandezza iniziale del foglio, ostacolano parecchio le operazioni di piegatura, fino a renderle praticamente impossibili.

Ma si sa, le cose impossibili rappresentano, per le persone audaci, sfide allettanti: nel gennaio 2002 una diciassettenne californiana, Britney Gallivan, per ottenere qualche credito in più a scuola, riuscì a piegare una striscia di carta stagnola per ben 12 volte. Ripeté poi l'impresa con una striscia di carta igienica, come possiamo vedere nella figura a lato.
La tecnica impiegata da Britney prevedeva di piegare la carta secondo direzioni alternate.

Britney fu la prima persona a comprendere i motivi profondi delle difficoltà insite nel piegare molte volte un foglio di carta, e dimostrò alcune formule che stabiliscono lo spessore iniziale della carta necessario per riuscire a ottenere un certo numero di piegature, tenendo conto della densità della carta e della tecnica utilizzata per la piegatura (direzioni alternate o direzione unica).

La storica impresa di Britney Gallivan è diventata famosa in tutto il mondo, almeno nella comunità scientifica. Nell'aprile 2005 la storia della ragazza che piegò un foglio di carta per dodici volte è stata menzionata in un episodio della serie "Numb3rs".
Lo so, state già armeggiando con un rotolo di carta igienica per riuscire a piegarlo tredici volte e battere il record di Britney. Bè, che dire? In bocca al lupo, e buone piegature!

lunedì 17 dicembre 2012

Carnevale della Matematica #56 su Scienza e Musica

Con ritardo (ma meglio tardi che mai) vi segnalo l'uscita del cinquantaseiesimo episodio del Carnevale della Matematica, ospitato per questa edizione pre-natalizia dall'ottimo blog "Scienza e Musica", curato da Leonardo Petrillo con il tema "Algebra, algebre e storia dell'algebra".
Leonardo ha fatto un lavoro davvero egregio, o dovrei forse dire monumentale, avendo confezionato un'edizione ricchissima di post e generosa di spunti sul tema del mese.

Mr. Palomar ha partecipato alla kermesse con gli ultimi tre post pubblicati: la terza puntata del ciclo sulle scale musicali e sui rapporti tra musica e matematica, l'edizione dicembrina della rubrica "Parole informatiche", e un piccolo omaggio a Isaac Asimov, tra i massimi maestri della divulgazione scientifica.


Complimenti a tutti i partecipanti e a Leonardo Petrillo, e appuntamento alla prossima edizione del Carnevale, che sarà ospitata da Matem@ticaMente con lo stuzzicante tema "Matematica e Nuove Tecnologie".

martedì 11 dicembre 2012

La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

I miei diciannove lettori (mi perdoni il buon .mau. per questa "citazione", o furto di idea: se Manzoni ne aveva 25, Guareschi 23 e Codogno 21, non posso certo attribuirmene più di 19), dicevo, i miei pochi lettori si saranno chiesti che fine ha fatto il progetto di quella serie di post dedicati alla storia delle scale musicali da Pitagora ai giorni nostri.
Tranquilli, non me ne sono dimenticato: è solo che impegni e accadimenti vari hanno fatto sì che nelle ultime settimane la frequenza dei miei post sia un po' diminuita. Ma prometto di riprendere con il consueto ritmo (uhm, ritmo? bene, sono già entrato nell'atmosfera musicale...).

Chi ha avuto la pazienza di leggere i due atti iniziali di questa lenta storia a puntate, avrà constatato che il protagonista assoluto è stato finora Pitagora.
Il filosofo di Samo fu probabilmente il primo costruttore di scale musicali della storia. Partendo dal postulato che un intervallo di note è tanto più consonante quanto più semplice è il rapporto numerico al quale corrisponde, Pitagora concluse che i migliori intervalli non potevano che essere l'ottava (corrispondente al rapporto 2:1) e la quinta (3:2), e costruì quindi la sua scala muovendosi tra le note per quinte e ottave.
Il risultato fu una scala diatonica, cioè formata da sette note che si susseguono secondo uno schema che fa uso di due tipi di intervallo tra una nota e la sua successiva: il "tono", corrispondente al rapporto 9:8 o a 203,91 cent (ad esempio tra do e re), e la "limma", corrispondente al rapporto 256:243 o a 90,22 cent (ad esempio tra mi e fa).

I pregi della scala pitagorica sono evidenti. Prima di tutto, abbiamo soltanto questi due tipi di intervalli, e non è cosa da poco. Il salto esistente tra do e re è lo stesso che c'è tra re e mi, o tra fa e sol e tra la e si, mentre la distanza tra mi e fa è pari a quella tra si e do.
Inoltre, avendo costruito la scala sulla base degli intervalli di quinta e di ottava, Pitagora ha mantenuto questi intervalli associati ai rapporti semplici di 3:2 e 2:1, e quindi perfettamente consonanti.
Infine, questa scala consentì ai Greci di esplorare per primi le grandi potenzialità espressive della musica: si accorsero cioè che cambiando la nota di partenza della scala (ad esempio dal do al fa) e mantenendo la posizione relativa dei due intervalli di limma all'interno della scala, l'"atmosfera" musicale restava pressoché invariata, mentre collocando i due intervalli di limma in posizioni diverse da quella originaria si ottenevano "sapori" sorprendentemente diversi, che i Greci chiamarono "modi" musicali.
A fronte di questi punti di forza, la scala pitagorica mostra anche alcuni gravi difetti.
Il primo problema è quello del "cerchio che non si chiude", descritto ampiamento nel post precedente.
Un'altra lacuna è quella che ha condotto alla nascita della cosiddetta "scala naturale". Se gli intervalli di quinta e di ottava sono consonanti, quelli di terza e di sesta non lo sono, essendo espressi da rapporti non semplici (rispettivamente 81:64 e 27:16). Il rapporto pitagorica di terza, 81:64, è però molto vicino al rapporto semplice 5:4: era quindi inevitabile che ben presto cantanti e musicisti cominciasero a intonare la voce e gli strumenti in modo appunto "naturale", con la terza accordata secondo il rapporto di 5:4.
Infine, la scala pitagorica è affetta da un problema legato al cambio di tonalità: se uno strumento è accordato pitagoricamente in una certa tonalità, è probabile che diventi scordato se suonato in una tonalità diversa.

Nel 1558 il teorico musicale veneziano Gioseffo Zarlino, nel suo trattato "Le istituzioni harmoniche", costruì una scala nella quale risultavano basate su rapporti numerici semplici non soltanto l'ottava (2:1) e la quinta (3:2), ma anche la terza (5:4).
In realtà la teoria di Zarlino non era una novità assoluta, ma rappresentava la formalizzazione di idee che erano state proposte già nell'antichità, quindi ben prima dell'imporsi della tonalità sulla scena musicale.
Già nel quarto secolo a.C., infatti, il filosofo e scienziato tarantino Archita, che fu anche uomo di stato e stratega militare, abbozzò i principi della cosiddetta "intonazione naturale"; ma fu soprattutto Claudio Tolomeo, astronomo e geografo dell'età ellenistica, autore del celebre "Almagesto", fu il primo ad ammettere gli intervalli di terza e di sesta nel club esclusivo degli intervalli consonanti.

Rispetto al sistema pitagorico, il sistema "naturale" tolemaico-zarliniano conferma i rapporti semplici 2:1 per l'ottava, 3:2 per la quinta e 4:3 per la quarta, ma introduce il rapporto 5:4 per l'intervallo di terza.
Gli altri intervalli necessari per costruire la scala vengono ricavati di conseguenza.
L'intervallo di seconda maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il re) viene ricavato come differenza tra una quinta e una quarta, cioè (3:2):(4:3) = 9:8, che è lo stesso valore che aveva trovato Pitagora.
L'intervallo di sesta maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il la) è calcolato come somma di una quarta e una terza, cioè (4:3)*(5:4) = 5:3: qui Pitagora aveva invece trovato il rapporto 27:16, certamente meno semplice.
L'intervallo di settima maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il si) è ricavato come somma di una quinta e di una terza, cioè (3:2)*(5:4) = 15/8: anche in questo caso il sistema pitagorica prevedeva invece una frazione più complessa, e cioè 243:128.

L'appellativo di "naturale" che viene attribuito alla scala tolemaico-zarliniana ha sicuramente a che fare con la "semplicità" di questi rapporti, e quindi con la consonanza dei corrispondenti intervalli musicali, ma è anche giustificato da una connessione con la fisica, in particolare con il fenomeno degli armonici.
Supponiamo di suonare il tasto del do centrale su un pianoforte. L'onda sonora che viene emessa avrà una forma che è legata al timbro particolare del pianoforte: se producessimo la stessa nota con una tromba, o con una chitarra, o con la voce di un cantante, emetteremmo una forma d'onda diversa. Com'è possibile? L'onda generata è in realtà la somma di diverse onde "elementari", dette armonici, tutte caratterizzate dalla stessa semplicissima forma matematica (detta sinusoidale) e intonate sulle frequenze multiple della nota fondamentale; i timbri caratteristici dei vari strumenti, e quindi le diverse forma d'onda, dipendono unicamente dai diversi pesi attribuiti ai diversi armonici.
Torniamo al nostro do centrale del pianoforte,cioè il do3. Chiamiamo F la sua frequenza, che vale circa 261,6 hertz. I suoi armonici avranno frequenze multiple di F, cioè rispettivamente 2F = 523,2 hertz, 3F = 784,8 hertz, 4F = 1046,4 hertz, e così via. Ovviamente man mano che si sale nella successione degli armonici, l'ampiezza dell'onda corrispondente, cioè la sua intensità sonora, diminuirà rapidamente: se così non fosse, il nostro orecchio non percepirebbe la nota fondamentale come nettamente dominante rispetto agli armonici, il cui "compito" principale è contribuire al colore timbrico dell'insieme.

I primi cinque armonici del do3 sono i seguenti:
  • il primo armonico ha frequenza 2F, cioè dista un'ottava dalla nota fondamentale, ed è quindi un do4
  • il secondo armonico ha frequenza 3F =  2(3/2)F, cioè dista un'ottava più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol4
  • il terzo armonico ha frequenza 4F = 2*2F, cioè dista due ottave dalla nota fondamentale, ed è quindi un do5;
  • il quarto armonico ha frequenza 5F = 2*2(5/4)F, cioè dista due ottave più una terza dalla nota fondamentale, ed è quindi un mi5;
  • il quinto armonico ha frequenza 6F = 2*2*(3/2)F, cioè dista due ottave più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol5.
Come si può vedere, dalla struttura degli armonici emergono gli intervalli di quinta e di terza come fondamentali, e si può dire che in qualche modo la scala naturale di Tolomeo e Zarlino attinge i propri suoni dalla serie degli armonici naturali di una nota fondamentale. Nonostante tutta questa "naturalità", tuttavia, anche la scala di Tolomeo e Zarlino aveva le sue belle magagne, che analizzeremo per bene nel prossimo post di questa serie.

sabato 1 dicembre 2012

Parole informatiche: euristico

Tranquillizzo subito i filosofi, gli psicologi e gli studiosi di comunicazione: non intendo considerare il termine "euristico" come un'esclusiva dell'informatica, perché in effetti non lo è.
La parola deriva dal verbo greco εὑρίσκω, che significa "trovare", "scoprire".
Chi non conosce l'aneddoto secondo il quale il grande matematico Archimede si accorse, mentre faceva il bagno, che il volume di un corpo di forma irregolare poteva essere calcolato misurando il volume dell'acqua spostata dal corpo stesso una volta immerso, e per la soddisfazione gridò a squarciagola "eureka!" (in greco εὕρηκα)?
Ebbene, quella strana parola, che ha anche dato il nome ad un asteroide, a due film,  ad un poema di Edgar Allan Poe, ad una serie americana di fantascienza, e addirittura a undici città degli Stati Uniti, altro non è che il perfetto indicativo del sopra citato verbo εὑρίσκω, e significa quindi "ho trovato".

Il termine "euristico", quindi, ha a che fare con il "trovare" e con lo "scoprire".
Si parla infatti di metodo euristico, non solo in informatica, ma anche nell'ambito della filosofia e della psicologia, per indicare un approccio alla soluzione di un problema che non procede secondo un percorso predefinito, "a colpo sicuro", ma che si basa su procedimenti più creativi, innovativi, che di volta in volta si adattano alle circostanze e sono in grado di generare nuova conoscenza.

Su un terreno più specificamente informatico, l'approccio euristico si rivela utile quando il problema da risolvere non può essere affrontato con un metodo di "forza bruta", cioè quando l'esplorazione esaustiva di tutte le possibili soluzioni sarebbe impraticabile dal punto di vista dei tempi di esecuzione.
In questi casi noi informatici ricorriamo ad algoritmi euristici (come ad esempio quello descritto in un mio vecchio post), che, basandosi su una ricerca "intelligente" nello spazio delle soluzioni, riducono enormemente il tempo di calcolo. Siccome, come si sa, a questo mondo nulla è gratis, anche questo vantaggio in qualche modo lo dobbiamo pagare. In che modo? Rinunciando alla pretesa di arrivare necessariamente alla soluzione ottima, cioè la migliore di tutte in assoluto.
I metodi euristici hanno questa caratteristica fondamentale: non è detto che trovino sempre la soluzione migliore (come farebbe un algoritmo esatto, ma magari a costo di impiegarci miliardi di anni per trovarla).