giovedì 23 maggio 2013

I quadrati magici (Parte 2)


Proseguendo la scorribanda nel mondo dei quadrati magici, ciò che subito balza all'occhio è la straordinaria quantità di analisi e ricerche che nel corso dei secoli sono state compiute su questi curiosi oggetti matematici. Più di mezzo secolo fa Martin Gardner faceva notare come nel 1838, quando la conoscenza di queste strutture era ancora meno profonda rispetto al 1960, veniva pubblicata un'opera sui quadrati magici articolata in tre ponderosi volumi.
Risulta perciò necessario selezionare gli argomenti, per non naufragare nell'oceano. Ecco allora che ci imbattiamo nella più antica documentazione di un quadrato magico 4x4, che si trova in una iscrizione del secolo XI o XII ritrovata a Nasik, in India.

Si tratta di un quadrato dotato di proprietà straordinarie, e per questo denominato "ultramagico".  Dicono che talvolta la magia, portata all'estremo e volta al lato oscuro, degenera in magia nera, stregoneria, o culto del demonio. Ecco che i matematici definiscono i quadrati ultramagici come quello di Nasik come "diabolici" .
Oltre ad avere le consuete caratteristiche dei quadrati magici, i quadrati diabolici esibiscono la costante di magia anche lungo le diagonali spezzate: ad esempio, costituiscono una diagonale spezzata le celle 13, 7, 4 e 10, oppure le celle 14, 8, 3 e 9.
Il risultato può essere ulteriormente generalizzato: nei quadrati diabolici ogni gruppo di quattro caselle adiacenti produce la costante di magia. In un quadrato diabolico 4x4 come quello in figura la costante di magia 34 salta fuori in 86 modi diversi!
E non solo: se componiamo un mosaico formato da molte copie contigue del quadrato, sarà diabolico ogni quadrato 4x4 che possiamo delimitare all'interno del mosaico.

Ma non abbiamo ancora finito di elencare le proprietà di questi quadrati magici. Cosa accade a un quadrato diabolico se spostiamo l'ultima riga in cima al quadrato? Semplice, rimane diabolico. E se spostiamo in basso la prima riga? Diabolicamente resta diabolico. Anche spostando una colonna da un'estremità all'altra non c'è nulla da fare, la diabolicità si conserva.
Anche le rotazioni e le riflessioni non intaccano le proprietà diaboliche di questo oggetto matematico. Gli studiosi hanno individuato altri tipi di operazioni che conservano la diabolicità, e hanno mostrato che queste trasformazioni costituiscono una struttura algebrica di gruppo.

Un'altra particolarità dei quadrati diabolici, descritta sempre da Martin Gardner, chiama in causa gli ipercubi, oggetti dei quali ho già parlato due anni fa, divagando a partire dal tema originario della matematica dell'I Ching (in quel post ricordavo tra l'altro lo sviluppo tridimensionale di un ipercubo dipinto da Salvador Dalí in "Corpus Hypercubus".
Cosa c'entrano i quadrati ultramagici con gli ipercubi? Se mettiamo in corrispondenza le 16 caselle di un quadrato diabolico con i 16 vertici di un ipercubo a quattro dimensioni, si ottiene una distribuzione di numeri tale per cui la somma dei quattro vertici di ogni faccia è pari a 34. Inoltre, la somma dei numeri sulle coppie che si trovano agli antipodi dell'ipercubo dà 17.
Sottoponendo l'ipercubo a riflessioni e rotazioni si ottengono 384 configurazioni, corrispondenti ai 384 quadrati diabolici 4x4.

Non bisogna confondere questo particolare legame tra quadrati diabolici e ipercubi con i "cubi magici", che altro non sono che gli equivalenti tridimensionali dei quadrati magici.
Un cubo magico è quindi una matrice tridimensionale n x n x n nella quale la somma dei numeri di ogni riga in ciascuna delle tre dimensioni e di ognuna delle quattro diagonali sia un numero costante, che anche in questo caso viene chiamato costante di magia. 
La costante di magia di un cubo magico tridimensionale è uguale a
Anche in tre dimensioni esiste la magia nera, e anche i cubi, come i quadrati, possono essere talmente magici da diventare diabolici: accade quando anche la somma dei numeri su ogni diagonale spezzata restituisce la costante di magia del cubo.

Più che ai cubi diabolici, i matematici hanno rivolto la loro attenzione ad un'altra categoria di cubi magici, detti "perfetti".  Possono vantare questo appellativo i cubi nei quali non soltanto le diagonali maggiori ma anche quelle interne sono magiche.
La ricerca sui cubi magici perfetti è relativamente recente: il primo, di ordine 7, fu scoperto nel 1866 dal missionario inglese Andrew Frost.

Nove anni dopo un quadrato magico perfetto di ordine 8 fu trovato da Gustavus Frankenstein, pittore e matematico tedesco dal cognome che era tutto un programma.  Un dipinto di questo artista-scienziato è riportato qui a lato.
Verso la fine dell'Ottocento sono stati scoperti cubi magici perfetti di ordine 9, 11 e 12, mentre solo nel 1988 è stato individuato un quadrato magico perfetto con n=10.

Ma esistono anche quadrati magici perfetti di ordine inferiore a 7? Ebbene, è stato provato che non ne esistono con n uguale a 2, 3 e 4, e fino a dieci anni fa si sospettava che non ne esistessero nemmeno di ordine 5 e 6.
Nel novembre 2003, il matematico tedesco Walter Trump e l'informatico francese Christian Boyer, facendo girare per settimane un sofisticato algoritmo in parallelo su cinque computer,  hanno finalmente trovato il più piccolo cubo magico perfetto, di ordine 5.  Due mesi prima, gli stessi due ricercatori avevano trovato anche il primo cubo magico perfetto di ordine 6.
Questa è una pagina che illustra in dettaglia l'impresa di Trump e Boyer; questa è invece una pagina su quadrati e cubi magici curata dallo stesso Walter Trump. Buon divertimento!

venerdì 17 maggio 2013

Parole informatiche: robot

Ritorna (vorrei dire a grande richiesta, ma non è proprio così...) la rubrica delle parole informatiche. Ho pubblicato l'ultimo post nel giorno di Capodanno, e poi più nulla. D'ora in poi le parole torneranno, spero con maggiore continuità e con post in generale più brevi.
Questa volta parlerò di robot. E per introdurre l'argomento con un video, quale migliore scelta se non i Kraftwerk di "The robots"?


La parola robot, che in italiano viene pronunciata a volte con l'accento sulla prima "o", e a volte con l'accento sulla seconda "o", deriva dal termine cecoslovacco robota, che significa lavoro pesante o lavoro forzato, e che discende, a sua volta, dal vocabolo rabota, in uso nell'antico slavo ecclesiastico con il significato di servitù.  Più precisamente, per robota si intendeva la corvée, cioè una prestazione agricola che il vassallo forniva al signore feudale per un certo periodo, tipicamente di sei mesi.

La stessa radice compare in molte altre lingue slave: ad esempio lavoro si dice rabota in russo e in ucraino, e robota in polacco; in quest'ultima lingua lavoratore si dice robotnik e il verbo fare si traduce robić. Pare che questa radice etimologica sia imparentata con quella che in tedesco ha dato origine al termine Arbeit, che significa sempre lavoro e che compariva nella tristemente celebre scritta "Arbeit macht frei" ("Il lavoro rende liberi") sul cancello d'ingresso del campo di concentramento di Auschwitz.
Anche il latino labor pare derivare dallo stesso ceppo indoeuropeo, attraverso una trasformazione della "r" in "l".

L'introduzione della parola robot, come è facile immaginare, è relativamente recente: fu lo scrittore ceco Karel Čapek a coniarla nel 1920, per la sua opera teatrale fantascientifica "I robot universali di Rossum".
Si può discutere sul fatto che i robot di Čapek erano in realtà "replicanti", cioè organismi biologici modificati attraverso procedimenti di ingegneria genetica, mentre in seguito al 1920 la parola passò a indicare soprattutto esseri meccanici artificiali (a questo proposito, chi fosse interessato a una tassonomia ragionata di androidi, cyborg, robot e replicanti può consultare l'affascinante "Dizionario degli esseri umani fantastici e artificiali" di Vincenzo Tagliasco).

In una sua memoria, lo stesso Karel Čapek ammette che il vero ideatore del termine robot non fu lui, ma suo fratello pittore Josef.  I due fratelli condividevano la pratica della letteratura oltre che l'interesse per il tema dei esseri artificiali, e tre anni prima lo stesso Josef aveva scritto un racconto in cui aveva utilizzato la parola automat (in italiano, automa).  Pare che Karel avesse originariamente ideato il termine labori, ma, non essendo soddisfatto del suono della parola, avesse accettato il consiglio del fratello a optare per il vocabolo robot.

La parola inventata dallo scrittore ceco divenne in breve tempo tra le più popolari, soprattutto nell'ambito della letteratura fantascientifica.  Non posso non citare, a tale proposito, i libri del celebre Ciclo dei Robot che Isaac Asimov scrisse a partire dagli anni Cinquanta, nei quali vide per la prima volta la luce il termine robotica (in inglese robotics).  In queste storie Asimov introdusse anche le famose tre leggi della robotica, alle quali i suoi robot positronici dovevano rigorosamente attenersi:
1) un robot non può recar danno a un essere umano né può permettere che, a causa del proprio mancato intervento, un essere umano riceva danno;
2) un robot  deve obbedire agli ordini impartiti da un essere umano, purché tali ordini non contrastino con la Prima Legge;
3) un robot deve proteggere la propria esistenza, purché tale autodifesa non contrasti con la Prima o con la Seconda Legge.

Da diversi decenni la robotica non è più un'esclusiva dei romanzi e dei film di fantascienza, ma è a tutti gli effetti una branca reale dell'ingegneria. I robot reali sono macchine automatizzate che, almeno in linea di principio, possono sostituire o imitare gli essere umani in particolari ambiti: e in questo senso, i robot sono certamente anche (ma non solo) legati all'informatica.
Tuttavia, esiste oggi un'altra accezione del termine robot (o dell'abbreviazione bot), strettamente legato alle tecnologie informatiche: ci si riferisce in questo caso a particolari programmi che accedono a internet, e in particolare al web, in maniera simile a come farebbe un utente umano, per assolvere a funzioni svariate in modo automatico.
Solitamente, i robot vengono impiegati per svolgere attività che richiedono tassi di ripetitività o velocità che non potrebbero essere raggiunti da un utente umano.
Ad esempio, ci sono robot che partecipano automaticamente a giochi online, ad aste online o a chatroom, che generano spam anche a scopo pubblicitario, che diffondono software maligni, e così via.
L'utilizzo più frequente è però il cosiddetto spidering, cioè l'analisi automatizzata delle informazioni prelevabili dai web server, allo scopo di indicizzare le pagine dei siti web per conto dei motori di ricerca.
I robot ai quali è assegnato questo compito hanno nomi pittoreschi, tra i quali spider (ragni), ants (formiche) o crawler (leccapiedi): lo so che non c'entra nulla, ma pensando a quest'ultimo nomignolo non riesco a trattenermi dal chiudere questo post con la bellissima "Carpet crawlers" dei Genesis.

 

mercoledì 15 maggio 2013

Carnevale della Matematica #61 su "Notiziole di .mau."

E' uscita ieri, puntuale come un orologio svizzero, la nuova edizione del Carnevale della Matematica, la numero 61, questo mese allestita dal suo illustre Fondatore, Maurizio .mau. Codogno.
Il tema proposto era "costanti matematiche", ma, come dice lo stesso .mau., "io come al solito non l'ho seguito affatto".  Se è per quello nemmeno il sottoscritto, il quale questa volta è stato anche particolarmente poco generoso: uno solo post, sui quadrati magici, al quale però seguirà a breve una specie di sequel.
Molti hanno invece seguito la traccia indicata, e sono giunti alcuni post davvero notevoli, che dipingono un imperdibile quadro sul tema delle costanti matematiche.  Anche nei contributi fuori tema, comunque, non mancano affatto gli spunti di notevole interesse.
Ricordo che l'edizione di giugno del Carnevale sarà ospitata da Popinga, con il tema "Matematica e genio". Complimenti vivissimi a .mau. e ai partecipanti, e buona lettura a tutti!