sabato 24 agosto 2013

Carnevale della Matematica #64 su Popinga

Spero che l'amico Popinga sarà magnanimo nel perdonarmi anche questa volta per l'enorme ritardo con cui recensisco il suo Carnevale: sappia che, nonostante il mio silenzio negli ultimi giorni (dovuto a ferie in luoghi di montagna bellissimi ma male raggiunti da internet), il Carnevale d'agosto non me lo sono affatto perso.
E lo consiglio a tutti coloro che, per ragioni varie, non l'hanno ancora letto: vi assicuro che merita!

Devo confessare che ho provato un pizzico di invidia nei confronti del bravo Popinga, per il fatto che gli è capitata un'edizione del Carnevale contraddistinta da una potenza di due, nella fattispecie 64. Cosa volete farci, noi informatici siamo un po' malati in questo senso... Però, pensateci: le potenze di due sono un po' come i numeri primi: merce che diventa sempre più rara man mano che ci si inerpica per i numeri naturali. Era da quasi tre anni che non capitava un Carnevale potenza di due, e adesso dovremo aspettarne più di cinque per averne un altro. Chissà come sarà il mondo nel dicembre del 2018, quando uscirà il Carnevale della Matematica n. 128!

Chiacchiere a parte, il padrone di casa di questo Carnevale di piena estate, dato il periodo vacanziero, ha preferito non suggerire alcun tema. Ma non per questo la carrellata di post è stata meno interessante del solito: davvero meritevoli i contenuti e i contributi.
Complimenti quindi a Popinga (oltre che facilitatore carnevalizio, autore di un paio di meravigliosi post sul tema dell'autoreferenzialità) e a tutti i partecipanti!
Il prossimo Carnevale sarà ospitato da Roberto "Zar" Zanasi, sul blog "Gli studenti di oggi", con il tema "La navigazione".
Buona continuazione di estate a tutti.

domenica 11 agosto 2013

Le tigri blu

C'è una famosa canzone dei Beatles, "Come together", che contiene l'enunciato di un semplice teorema di  aritmetica.


La tesi enunciata è la seguente:

...one and one and one is three.

ovvero 1+1+1=3.
Se i Beatles si professano sostenitori di una matematica "convenzionale", i Radiohead sembrano invece attratti dalle verità contraddittorie, come dimostra il titolo di questo brano.


L'affermazione "2+2=5" ha alcuni illustri precursori.

Chi ha letto il celebre "1984" di George Orwell ricorderà che questo era un esempio di "falso dogma", da tutti ritenuto vero nonostante la sua evidente falsità, proprio perché propagandato come tale dal regime. Il protagonista del romanzo, Winston Smith, si chiede se l'universale accettazione della verità di "2+2=5" sia un fatto sufficiente a rendere l'affermazione vera, ma alla fine cede al lavaggio del cervello operato dal Partito, e scrive la falsa espressione su un tavolo. Fino al 1987, a causa di un errore di stampa, le edizioni inglesi del romanzo riportavano "2+2=" anziché "2+2=5": nessun critico parve accorgersi del refuso, e qualcuno interpretò il fatto come una parziale resistenza del protagonista alla vittoria finale del regime.
Prima di Orwell, la frase "2+2=5" fu citata, tra gli altri, da Victor Hugo. Fëdor Dostoevskij, nel celebre "Memorie del sottosuolo", cita un'espressione similmente falsa, "2x2=5", e descrive il credere alla sua verità come una sorta di trionfo della volontà individuale.

Se una affermazione come "2+2=5", anziché inculcata da un regime autoritario o ritenuta vera solo per un capriccio da megalomane, venisse da qualcuno dimostrata rigorosamente senza trucchi o passaggi illegali, ci troveremmo davanti a un fatto sconvolgente.
Più o meno è ciò che accade al protagonista di uno degli ultimi racconti di Jorge Luis Borges, intitolato "Tigri blu" e pubblicato nel 1977.
Un professore di logica particolarmente attratto dalle tigri apprende che in una regione dell'India è stata scoperta una varietà blu di questi animali. Affascinato dall'idea dell'esistenza di una simile meraviglia, comincia a sognare tigri blu con regolarità. Recatosi infine sul luogo indicato, intraprende una minuziosa ricerca di questi felini straordinari, senza tuttavia avvistarne alcuno, e notando negli abitanti della zona una certa reticenza mista a timore reverenziale nei confronti delle favolose tigri blu.
Finché, un giorno, salito su un'altura, il nostro protagonista scorge, in una fessura del terreno, degli strani oggetti:

In una delle fessure, che non erano profonde e si ramificavano in altre crepe, riconobbi un colore. Era, incredibile a dirsi, il blu della tigre del mio sogno. Vorrei non averlo mai visto. Guardai bene. La crepa era piena di pietruzze, tute uguali, rotonde, molto lisce e di pochi centimetri di diametro. La loro regolarità le faceva apparire un po' artificiali, come fossero gettoni.

Sono queste, si scoprirà ben presto, le tigri blu di cui si favoleggia. Ma cos'hanno di particolare queste pietruzze? Ebbene, sembrano mettere in crisi le certezze della matematica, in quanto si riproducono e svaniscono in modo del tutto casuale e imprevedibile. È impensabile utilizzarle per far di conto, perché addizioni e sottrazioni diventano operazioni del tutto prive di logica.

Ne tirai fuori un primo pugno e sentii che ne restavano ancora due o tre. Una sorta di solletico, di lievissima agitazione, mi scaldò la mano. La aprii e vidi che ce n'erano trenta o quaranta dischetti. Avrei giurato che non fossero più di dieci. (...)
Li riunii tutti in mucchio e cercai di contarli uno per uno. Quella semplice operazione si rivelò impossibile. Guardavo fisso un dischetto, lo tiravo fuori col pollice e l'indice, e non appena era da solo, erano molti.

Borges, che spesso ho citato in questo blog come uno degli scrittori "più matematici" del Novecento, era affascinato dalla perfezione e dalla bellezza del linguaggio matematico, ma ancor di più dalla vertigine che può nascere da un eventuale crollo di quell'edificio così perfetto. Non esiste nulla di più sconcertante, ammette Borges, di vedere sgretolarsi i pilastri che tengono in piedi la matematica, e con essa la realtà nella quale viviamo e la nostra stessa mente. Qualsiasi altro assurdo, a confronto, sarebbe più sopportabile.

Se mi dicessero che ci sono unicorni sulla luna, io accetterei o respingerei la notizia, oppure sospenderei il giudizio, ma sarei in grado di immaginarli. Se invece mi dicessero che sulla luna sei o sette unicorni possono essere tre, direi subito che è impossibile. Chi ha compreso che tre più uno fa quattro non fa la prova anche con monete, dadi, pezzi degli scacchi o matite. Lo sa e basta. Non può concepire un'altra cifra. Certi matematici affermano che tre più uno è una tautologia di quattro, un modo diverso di dire quattro. (...) Se tre più uno può fare due o può fare quattordici, la ragione è una follia.

Il professore, ormai sull'orlo della pazzia, cerca di trovare una logica nel comportamento delle azzurre pietruzze, ma non ha successo nel suo tentativo.
Non vi svelo il finale della storia delle tigri blu, invitandovi a leggere il racconto completo (che potete trovare nella raccolta "Il libro di sabbia"). Vi lascio con un altro breve passo.

Lo stesso ardente desiderio di ordine che al principio creò la matematica mi fece cercare un ordine in quell'aberrazione della matematica che sono le assurde pietre che si riproducono. Volli trovare una legge nelle loro imprevedibili variazioni. Consacrai i giorni e le notti a fissare una statistica dei cambiamenti. (...) Fu inutile cercare un ordine, un disegno segreto nelle rotazioni. Il massimo di pezzi che ottenni fu quattrocentodiciannove; il minimo, tre. (...) Mentre maneggiavo le pietre che distruggono la scienza della matematica, pensai più volte a quelle pietre del greco che furono le prime cifre e che hanno legato a tante lingue la parola "calcolo". La matematica, mi dissi, ha la sua origine e ora la sua fine nelle pietre.