lunedì 25 maggio 2015

Quante scale musicali esistono? Post... scriptum

Un paio di precisazioni e una piccola "scoperta" inerenti alla questione delle scale musicali che ha riempito due lunghi post qualche settimana fa.

Prima precisazione: qualcuno mi ha fatto notare che una scala formata da una nota, ma anche da due o tre sole note, si fa fatica a considerarla una vera scala. Verissimo. Non a caso, nella prima parte del post osservavo che una scala costituita da un solo suono è qualcosa di molto strano, noioso e soprattutto inutile. Poco cambierebbe, in effetti, aggiungendo una sola altra nota o anche due: ciò che si ottiene, più che una scala, verrebbe definito da un musicista un intervallo (nel primo caso) o una coppia di intervalli (nel secondo caso). Il tutto poco utilizzabile per costruire composizioni di qualche interesse.
Eppure, volendo analizzare la questione da una prospettiva matematica, il che (non essendo musicista) è ciò che ho cercato di fare nei miei due post precedenti, si pone il dubbio fondamentale: quante devono essere le note per poter parlare legittimamente di scala? Se questa domanda ha una risposta (che potrebbe essere un qualsiasi numero intero compreso tra 1 e 12, anche se i numeri candidati sono, diciamo, certamente inferiori a 6), deve esserci un motivo convincente per scegliere un numero ben definito e non altri. Credo che alla fine l'unica risposta convincente da un punto di vista matematico sia 1, anche se questa scelta impone di includere nel club delle scale musicali anche "cose" che qualsiasi musicista, ragionevolmente, si rifiuterebbe di considerare scale.

Seconda precisazione: in un commento alla seconda parte del post, un lettore obiettava che la mia classificazione non comprende alcune scale molto comuni: ad esempio la scala minore melodica, che è diversa in fase ascendente e in fase discendente.
In realtà stiamo qui parlando di due scale diverse. La scala minore melodica ascendente è infatti una scala eptafonica associata, come le più note scale maggiori e minori (naturale), a una delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2), precisamente la permutazione (2, 1, 2, 2, 2, 2, 1). La scala minore melodica discendente è una scala eptafonica associata ad un'altra delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): la permutazione (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2)
Anche qui il punto di vista musicale si distanzia da quello matematico: quello che i musicisti, per motivi assai legittimi, considerano come una medesima scala, declinata nelle sue versioni ascendente e discendente, viene visto matematicamente come una coppia di scale completamente diverse, benché associate alla stessa cardinalità (7) e anche alla stessa partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2).

Ed eccomi alla "piccola "scoperta". Ricordate la tabellina, riportata all'inizio della seconda parte, che restituisce il numero di possibili scale in funzione del numero di note costitutive? Ebbene, passando dal caso "degenere" di una sola nota al caso shönberghiano di 12 note, i numeri che si incontrano sono, rispettivamente, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1.


Già il fatto che in questa sequenza si parta da 1, si salga fino a 462 e poi, in maniera perfettamente speculare, si ridiscenda a 1 appare come una meravigliosa coincidenza.
Ma c'è qualcosa di ancora più sorprendente: i numeri di questa sequenza sono esattamente i numeri che costituiscono la dodicesima riga del famoso "triangolo di Pascal", più noto in Italia come "triangolo di Tartaglia".

Mi sembra di sentire le voci dei miei lettori: "Ah, sì, il triangolo di Tartaglia! Me lo ricordo, l'ho studiato al liceo. Ma non mi ricordo più come si costruisce, e tantomeno a che cosa serve..."
Come si costruisce il triangolo è presto detto. La prima riga è formata dal solo numero 1, mentre ogni numero delle righe inferiori è generato come somma dei due numeri superiori. Se il numero si trova ad uno degli estremi della riga, ed è quindi sovrastato soltanto da un 1, è anch'esso semplicemente un 1.
Ma a cosa serve questo strano triangolo? L'utilizzo più frequente è legato alla determinazione dei coefficienti dello sviluppo di un binomio (a+b) elevato a una potenza qualsiasi.
Se devo calcolare (a+b) elevato alla 12, trovo la dodicesima riga del triangolo (quella che inizia con 1, 11, 55, ...) e leggo i numeri che la formano: ecco, questi sono i coefficienti che mi servono.
Il matematico bresciano Nicolò Fontana, detto il Tartaglia per la sua balbuzie, descrisse il celebre triangolo nel suo General trattato di numeri et misure che uscì nel del 1556: molto prima del Traité du triangle arithmétique di Blaise Pascal, pubblicato nel 1665. Eppure, al di fuori dell'Italia, il triangolo dei coefficienti delle potenze del binomio viene chiamato triangolo di Pascal. La cosa strana è che Pascal fu l'ultimo di una lunga serie di matematici che si interessarono all'argomento: prima di lui ci fu Tartaglia, certo, ma anche il buon bresciano non fu un vero pioniere del triangolo, dato che nei secoli precedenti questo oggetto era stato già descritto e analizzato da matematici indiani, persiani, cinesi e tedeschi.

Tornando alla musica, accennavo poco fa che i numeri che quantificano le possibili scale, in funzione del numero di note costitutive della scala, si trovano disposti in bella evidenza sulla dodicesima riga del triangolo.
Perché proprio la dodicesima? Bè, è evidente: abbiamo ricavato le scale dalle partizioni del numero 12, cioè dai possibili modi di scrivere il 12 come somma di interi positivi. E questo non per un mio sfizio arbitrario, ma per il fatto che il sistema equabile suddivide l'ottava in 12 semitoni uguali. Se i semitoni di un'ottava fossero stati 8, saremmo ricaduti nella nona riga del celebre triangolo: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. E così via.

Non deve stupire che il triangolo di Tartaglia racchiuda in sé questa sequenza numerica di interesse musicale.

Non so se questa connessione tra musica e matematica sia stata già osservata da altri in precedenza. Ma è un dato di fatto che il triangolo di Tartaglia sia una miniera di infinite regolarità e sorprendenti connessioni.
La fascinazione di Tartaglia per il "suo" triangolo, così come quella di Pascal e di molti altri ricercatori, fu proprio legata all'inaspettata ricchezza che si sprigiona dalle righe del triangolo: numeri triangolari, tetraedrici, pentatopici, poligonali, di Fibonacci, di Catalan, si possono trovare tutti all'interno del triangolo (sapendoli cercare, ovvio). E perfino i frattali sono connessi a questa semplice struttura.

Ma non divaghiamo: quando si comincia a navigare tra i numeri del triangolo di Tartaglia il rischio di perdersi, di naufragare e di approdare a chissà quale costa è molto alto, mentre la "piccola "scoperta" di cui volevo parlarvi riguardava soltanto un legame tra le scale musicali e i numeri del triangolo. E' una piccola e semplice connessione, anche se a me pare davvero meravigliosa.

3 commenti:

  1. Buonasera, complimenti e grazie per il blog, davvero interessante, tratta questioni anche complicate in modo brillante. Anche questo post sulle scale è intrigante assai,quel poco che si trova in giro è molto... discutibile. Ma non riesco a trovare i suoi due post precedenti! mi potrebbe aiutare per cortesia? E grazie ancora.

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  2. Buonasera Sofia, grazie per i complimenti! Mi fa piacere che i miei post le siano piaciuti. I primi due post della serie "Quante scale musicali esistono?" li può trovare rispettivamente agli indirizzi http://misterpalomar.blogspot.it/2015/04/quante-scale-musicali-esistono-parte.html e http://misterpalomar.blogspot.it/2015/05/quante-scale-musicali-esistono-seconda.html.
    Grazie ancora, mi faccia sapere cosa ne pensa!
    Paolo

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