lunedì 27 aprile 2015

Quante scale musicali esistono? (parte prima)

Olivier Messiaen durante una lezione (1978)
Ricordate il mio post sulla matematica di Olivier Messiaen? Tra i numerosi punti di contatto con la matematica offerti dalla sua opera, citavo, in chiusura di post, i "modi a trasposizione limitata". Di che cosa si tratta? Per comprenderne il significato, occorre procedere un passo alla volta.
Ricorderete, dai miei antichi post sulla scala pitagorica, il concetto di "ottava": un intervallo tra due note in cui la nota più acuta ha una frequenza doppia rispetto alla nota più grave.
Dato che due note separate da un tale intervallo suonano come la stessa nota, anche se ad altezze diverse, si conviene di indicarle con lo stesso nome, per esempio "do": naturalmente si tratterà di due "do" diversi, uno all'ottava inferiore e l'altro all'ottava superiore.
Nel sistema musicale occidentale moderno, basato sul cosiddetto temperamento equabile, l'ottava viene suddivisa convenzionalmente in 12 intervalli uguali tra di loro, chiamati semitoni.


Ciascuna delle dodici "tacche" indicate nella figura corrispondono a note che possono essere utilizzate da un compositore, come colori sulla tavolozza del pittore. Se la nota di riferimento è un do, allora le note indicate dalle tacche sono, rispettivamente, il do diesis (per convenzione del sistema equabile coincidente al re bemolle), il re, il re diesis (uguale al mi bemolle), il mi, il fa, e così via.

Che cos'è una scala musicale? Semplicemente un insieme di note, scelte tra quelle offerte dal sistema equabile, cioè tra quelle corrispondenti alle dodici tacche, che un compositore decide di considerare come note "utilizzabili" in un certo brano musicale.
La selezione delle note appartenenti a una certa scala viene operata su un'ottava di riferimento (per esempio quella rappresentata nella figura precedente): implicitamente essa si riflette invariata su tutte le altre ottave.
Per esempio, se decidiamo di scrivere un pezzo in do maggiore, implicitamente scegliamo una tavolozza formata dalle sette note che compongono la scala di do maggiore. Sul diagramma precedente, le note utilizzabili (sette su dodici) sono quelle indicate in rosso:

Le note selezionate sono, in questo caso, il do, il re, il mi, il fa, il sol, il la, il si.
Nella figura è indicata (in blu) anche la nota posta all'ottava superiore: essa formalmente non fa parte dell'ottava di riferimento, ma, per quanto detto poco sopra, questa nota fa comunque parte delle note della scala, anche se ad un'ottava diversa.

Se invece preferiamo la scala minore (naturale), avremmo ancora sette note disponibili, ma sistemate in modo diverse sulle tacche dell'ottava:

In questo caso abbiamo selezionato il do, il re, il mi bemolle (cioè il re diesis), il fa, il sol, il la bemolle (cioè il sol diesis), il si bemolle (cioè il la diesis).

Siamo amanti della dodecafonia? Allora probabilmente adotterete la scala cromatica, cioè quella formata da tutte e dodici le note esistenti:


Queste sono soltanto tre delle numerose scale che possono essere costruite sulla base del sistema equabile. Ma quante sono, in tutto, le scale possibili?
Non è banale rispondere a questa domanda. Innanzitutto, dobbiamo renderci conto che esistono scale formate da un numero qualsiasi di note, ovviamente compreso tra 1 e 12. La scala maggiore e la scala minore naturale sono entrambe formate da sette note. La differenza tra le due sta nel diverso "pattern", cioè dalla diversa posizione che le sette note occupano sulla "retta" dell'ottava. La scala cromatica, invece, è formata da dodici note.

Come possiamo fare per costruire tutte le scale esistenti? Dato che le due note estreme dell'ottava di riferimento rappresentata sulla nostra retta graduata fanno convenzionalmente parte della scala (la prima a pieno titolo, la seconda all'ottava superiore), la costruzione di una scala consiste nella scelta di eventuali altre note comprese tra queste due note estreme.
Partiamo dalle scale formate da una sola nota (lo so, una scala formata da una sola nota è una scala ben strana; soprattutto immaginate quanto noiose possano essere le composizioni musicali fondate su tale scala! Eppure ci tocca considerare anche questo caso degenere, il quale, benché musicalmente poco interessante, è matematicamente degno al pari degli altri). Quante sono le scale di questo tipo? Una soltanto, visto che abbiamo già posizionato una nota all'inizio dell'ottava, e altre non ne possiamo mettere: non abbiamo alcuna possibilità di scelta.
Quante sono, invece, le scale formate da due note? Qui la faccenda si fa più complessa. Si tratta di decidere dove collocare una seconda nota, in modo da suddividere l'ottava in due intervalli. Le possibili scelte a nostra disposizione corrispondono, matematicamente parlando, alle partizioni di cardinalità 2 del numero intero 12, cioè ai modi possibili di scrivere 12 come somma di 2 interi positivi, senza tener conto dell'ordine degli addendi:

12 = 1 + 11
12 = 2 + 10
12 = 3 + 9
12 = 4 + 8
12 = 5 + 7
12 = 6 + 6

La prima partizione, 12 = 1 + 11, ci suggerisce di partizionare l'ottava in due intervalli, rispettivamente formati da 1 semitono e da 11 semitoni, ottendo la seguente scala:


Esistono quindi soltanto 6 scale formate da due note? Non esattamente. Ricordiamoci che le partizioni elencate non tengono conto dell'ordine degli addendi. In altre parole, la partizione 12 = 1 + 11 va intesa anche come 12 = 11 + 1. Una scala altrettanto importante si ottiene quindi collocando l'intervallo di 11 semitoni prima dell'intervallo di 1 semitono:

Analogamente, la partizione 12 = 2 + 10 produce due scale diverse, derivanti dalle partizioni dell'ottava in due intervalli di 2 e di 10 semitoni: nella prima scala troviamo per primo l'intervallo di 2 semitoni, nella seconda scala quello di 10 semitoni.
E così accade anche per le successive tre partizioni (12 = 3 + 9, 12 = 4 + 8, 12 = 5 + 7). L'ultima partizione, 12 = 6 + 6, invece, produce una sola scala, perchè i due intervalli nei quali viene suddivisa l'ottava sono uguali tra di loro, essendo entrambi formati da 6 semitoni.
In tutto, quindi, contiamo 11 scale formate da due note.

Passando alle scale formate da tre note, dobbiamo conteggiare le partizioni di cardinalità 3 di 12, cioè i modi possibili di scrivere 12 come somma di 3 interi positivi, sempre ignorando l'ordine degli addendi. Abbiamo in tutto 12 partizioni:
12 = 1 + 1 + 10
12 = 1 + 2 + 9
12 = 1 + 3 + 8
12 = 1 + 4 + 7
12 = 1 + 5 + 6
12 = 2 + 2 + 8
12 = 2 + 3 + 7
12 = 2 + 4 + 6
12 = 2 + 5 + 5
12 = 3 + 3 + 6
12 = 3 + 4 + 5
12 = 4 + 4 + 4

Anche in questo caso, per ciascuna partizione dobbiamo considerare le possibili permutazioni. Ad esempio, la partizione 12 = 1 + 1 + 10 dà origine a 3 permutazioni (12 = 1 + 1 + 10, 12 = 1 + 10 + 1 e 12 = 10 + 1 + 1).

In generale, dobbiamo tener conto che si tratta di permutazioni con ripetizione: nello scrivere la somma che restituisce 12 come risultato, infatti, possiamo avere degli addendi che si ripetono (come l'1 nella partizione precedente). La formula che dobbiamo utilizzare in generale, quindi, è il fattoriale della cardinalità della partizione (nel caso che stiamo analizzando, 3!) diviso per il prodotto dei fattoriali delle numerosità delle singole ripetizioni di addendi. Nell'esempio 12 = 1 + 1 + 10, il numero di permutazioni è allora dato da 3! / 2!, cioè appunto 3.
Per la cronaca, le scale di tre note risultano alla fine essere in tutto 55. In modo analogo, con un po' di pazienza si può calcolare quante sono le scale di N note, con N compreso tra 1 e 12:


Notate in particolare la piacevole ed evidente simmetria nei numeri presenti nella seconda colonna.
In tutto, quindi, le scale possibili risultano essere 2048 (gli appassionati di musica e dell'omonimo videogioco forse ne saranno felici).
Attenzione, però: ognuna di questa scala può essere trasposta da un'ottava di riferimento a un'altra, cambiando in questo passaggio le proprie caratteristiche (e anche il proprio nome). Ma questi aspetti meritano un approfondimento, che fornirò nella seconda e ultima parte di questo post.
E i modi a trasposizione limitata di Messiaen, che cosa c'entrano? Un po' di pazienza, cari lettori: anche questo diventerà chiaro nella prossima puntata.

domenica 19 aprile 2015

Carnevale della Matematica #84 su MaddMaths!

"Passato il santo, passato il miracolo", si dice spesso, e non a torto. Ma se il santo è il Carnevale della Matematica, bè, anche se sono passati 5 giorni dall'uscita dell'edizione di aprile, il "miracolo" non può essere considerato passato. E quindi spero mi perdonerete se promuovo soltanto oggi il Carnevale di aprile, mirabilmente organizzato da quell'ottimo sito che risponde al nome di MaddMaths!.
Introdotto dal verso "canta canta il merlo melodioso", che secondo la Poesia Gaussiana del sommo Popinga è associato al numero 84, il Carnevale di MaddMaths! ci regala un interessante sguardo su un tema molto particolare: i mestieri dei matematici. Proprio questo è il tema del mese della Consapevolezza Matematica 2015, versione italiana dell'americano Mathematics Awareness Month.
Come sempre molto numerosi e degni di nota i contributi dei blogger (tra cui il mio Gli enigmi di Coelum: l'ossessione di Clarke, che corrisponde alla seconda "puntata" della serie di approfondimenti sugli enigmi da me pubblicati sulla rivista Coelum: stavolta ho parlato di polimini, argomento classico della matematica ricreativa).
Congratulazioni a MaddMaths! per l'ottimo allestimento e a tutti i partecipanti. E buon divertimento a chi, dopo tutti questi giorni, non ha ancora letto il Carnevale.
La prossima edizione (con verso gaussiano (“zampettando tra i cespugli”) sarà ospitata dal Fondatore, Maurizio Codogno, sulle sue Notiziole di .mau.

giovedì 2 aprile 2015

Gli enigmi di Coelum: l'ossessione di Clarke

Continua la serie degli approfondimenti sugli enigmi da me pubblicati sulla rivista Coelum Astronomia. Questa volta tocca ai polimini, argomento da me già trattato anni fa su questo blog nei post "Come giocare su una scacchiera con i pezzi del Tetris" e "Ancora sui polimini".
Alcune delle informazioni che troverete in questo approfondimento, quindi, non saranno del tutto nuove per i lettori di Mr. Palomar: ma non credo che sia male rinfrescarle...
Anche il Sommo Popinga aveva parlato di polimini in un bel post del lontano 2012.

Per cominciare, cosa sono questi polimini? Beh, sono figure geometriche piane ottenute congiungendo tra di loro quadrati uguali e facendo in modo che ogni quadrato confini, tramite un lato, con almeno un altro quadrato. Se i quadrati da mettere insieme sono tre, esistono soltanto due possibili configurazioni (quella con i tre quadratini in fila e quella a L), che possiamo chiamare trimini.

Con quattro quadratini, possiamo costruire invece i tetramini, che sono in tutto cinque (vedi figura a lato).
Ciascuno di questi pezzi viene considerato sempre lo stesso tetramino anche se viene ruotato o riflesso in qualsiasi direzione. Ciò non avviene nel Tetris, dove non è possibile riflettere (o, se preferite, capovolgere) i pezzi. Per questo motivo i tetramini cadenti del celebre videogioco erano sette e non cinque: i pezzi a L e a S venivano rappresentati nelle due forme speculari.

Se abbiamo cinque quadratini, ecco i pentamini, che sono ben dodici, e per comodità memonica vengono contrassegnati ciascuno con una lettera dell’alfabeto (vedi figura a lato).

Analogamente, si può parlare di esamini (polimini da sei), eptamini (da sette), ottomini (da otto), e così via. I polimini formati da due soli quadratini, invece, sono molto meno interessanti dal punto di vista della matematica ricreativa, anche perché esiste una sola possibilità di costruire una forma siffatta. Qualcuno sostiene che questi polimini “banali” devono essere chiamati domini, e che ciò spiegherebbe l’origine del nome del celebre gioco del domino.
In realtà il gioco del domino deve il suo nome al colore delle tessere con le quali si gioca, notoriamente bianche e nere: gli stessi colori caratterizzavano infatti un antico costume carnevalesco a cappuccio, simile alla bautta veneziana, chiamato appunto domino. Il nome dell’antico gioco delle tessere costituisce soltanto una curiosa coincidenza linguistica.

A inventare i polimini fu un ventiduenne studente americano ad Harvard, Solomon W. Golomb.

Nel 1953, durante una noiosa lezione, Golomb cominciò a tracciare su un foglio delle figure costituite da unioni di quadratini. Resosi conto del potenziale interesse matematico della sua scoperta, Golomb si mise a classificarle (in base al numero di quadratini), e tentò di stabilire quanti polimini esistono per ciascun tipo.
A dire il vero, le figure ideate da Golomb non erano del tutto nuove: già nel 1907 Henry Dudeney, nei suoi celebri Canterbury Puzzles, aveva proposto dei problemi di fatto basati su polimini, e altri enigmi simili vennero pubblicati tra gli anni Trenta e gli anni Cinquanta dal bimestrale enigmistico inglese Fairy Chess Review.
Golomb, comunque, fu il primo a studiare la questione da un punto di vista matematico rigoroso e sistematico. Il suo primo sforzo fu rivolto a trovare una formula semplice che permettesse di determinare il numero di polimini di una certa specie.
Ad oggi una simile formula non è nota. Quel che si sa è che questo numero cresce molto rapidamente all’aumentare del numero dei quadratini: gli esamini sono 35, gli eptamini 108, e già con 12 quadrati si arriva a ben 63600 combinazioni possibili.

Qualche tempo dopo il giovane Golomb presentò la sua idea al Club di Matematica di Harvard, e il gioco dei polimini divenne rapidamente popolarissimo tra gli studenti. Fu Martin Gardner, il più famoso dei “giocologi” matematici, a diffonderlo in tutto il mondo grazie ai suoi articoli sul Scientific American.

I polimini rappresentano senza dubbio uno dei temi prediletti dalla matematica ricreativa. Esistono numerosi giochi e rompicapi costruiti attorno a queste figure geometriche. La maggior parte di questi problemi consiste nel tentativo di tassellare figure assegnate utilizzando polimini di un certo tipo.

Tra i problemi più classici vi è la tassellatura di rettangoli di area 60 (ad esempio 6×10, 5×12, 4×15 o 3×20) utilizzando i dodici pentamini esistenti. Esistono 2339 soluzioni per il rettangolo 6×10, 1010 per il rettangolo 5×12, e 368 per il rettangolo 4×15.

Come ricordavo nell’articolo su Coelum, il problema del rettangolo 3×20, che ossessionò Arthur Clarke, è invece molto più arduo, e le soluzioni sono soltanto due, come illustrato in figura.


Un altro problema famoso, affrontato da Dudeney e da Gardner, consiste nel coprire una scacchiera 8×8 con i 12 pentamini esistenti, lasciando vuote quattro caselle. Una possibile soluzione è illustrata nella figura a fianco.

Golomb escogitò un gioco competitivo basato su questo problema, oggi in commercio con il nome Quintillions: a turno, i due giocatori devono disporre sulla scacchiera un pentamino, finché uno dei due non ha più posto per collocare un pezzo. Golomb calcolò che una partita può durare dalle 5 alle 12 mosse.
Nella variante nota come Blokus, oltre ai pentamini si possono usare anche altri tipi di polimini.
Un altro problema molto citato, ideato dal matematico americano Raphael Robinson, è quello della triplicazione: mettendo insieme nove pentamini, si deve costruire una figura con la stessa forma di uno dei pentamini, ma tre volte più grande.

Nella figura a lato sono illustrati alcuni esempi, uno per ogni tipo di pentamino.

E i tetramini? Il fatto è che questi tipi di polimini sono meno interessanti dal punto di vista dei giochi matematici. Ad esempio, è stato provato che non esiste alcun modo di sistemare i 5 tetramini in un rettangolo di area 20.
Si deve quindi ricorrere a tassellature alternative: una di queste consiste nel sistemare i 5 pezzi in un rettangolo 3×7, con un quadratino escluso. Oppure, è possibile coprire un rettangolo di 5×8 celle con due set completi di tetramini.

La sfida di ottobre 2013 consisteva in un problema di tassellazione con tetramini, di mia invenzione. Si trattava di estendere il normale set di 5 tetramini, duplicandone uno, e di sistemare i sei pezzi così ottenuti in un rettangolo di dimensioni 4×6.

Riuscite a trovare qualche soluzione?
Attenzione che tra poco rivelerò quelle che conosco io (quindi, se desiderate cimentarvi nell'impresa, non leggete oltre!)

Le tre soluzioni a me note del problema, a meno di rotazioni e riflessioni, sono illustrate qui sotto:







Pare che non esistano altre soluzioni oltre a queste tre: è curioso notare che tutte e tre sono basate sulla duplicazione del pezzo a forma di T.
Buon divertimento a tutti con i polimini!