lunedì 25 maggio 2015

Quante scale musicali esistono? Post... scriptum

Un paio di precisazioni e una piccola "scoperta" inerenti alla questione delle scale musicali che ha riempito due lunghi post qualche settimana fa.

Prima precisazione: qualcuno mi ha fatto notare che una scala formata da una nota, ma anche da due o tre sole note, si fa fatica a considerarla una vera scala. Verissimo. Non a caso, nella prima parte del post osservavo che una scala costituita da un solo suono è qualcosa di molto strano, noioso e soprattutto inutile. Poco cambierebbe, in effetti, aggiungendo una sola altra nota o anche due: ciò che si ottiene, più che una scala, verrebbe definito da un musicista un intervallo (nel primo caso) o una coppia di intervalli (nel secondo caso). Il tutto poco utilizzabile per costruire composizioni di qualche interesse.
Eppure, volendo analizzare la questione da una prospettiva matematica, il che (non essendo musicista) è ciò che ho cercato di fare nei miei due post precedenti, si pone il dubbio fondamentale: quante devono essere le note per poter parlare legittimamente di scala? Se questa domanda ha una risposta (che potrebbe essere un qualsiasi numero intero compreso tra 1 e 12, anche se i numeri candidati sono, diciamo, certamente inferiori a 6), deve esserci un motivo convincente per scegliere un numero ben definito e non altri. Credo che alla fine l'unica risposta convincente da un punto di vista matematico sia 1, anche se questa scelta impone di includere nel club delle scale musicali anche "cose" che qualsiasi musicista, ragionevolmente, si rifiuterebbe di considerare scale.

Seconda precisazione: in un commento alla seconda parte del post, un lettore obiettava che la mia classificazione non comprende alcune scale molto comuni: ad esempio la scala minore melodica, che è diversa in fase ascendente e in fase discendente.
In realtà stiamo qui parlando di due scale diverse. La scala minore melodica ascendente è infatti una scala eptafonica associata, come le più note scale maggiori e minori (naturale), a una delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2), precisamente la permutazione (2, 1, 2, 2, 2, 2, 1). La scala minore melodica discendente è una scala eptafonica associata ad un'altra delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): la permutazione (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2)
Anche qui il punto di vista musicale si distanzia da quello matematico: quello che i musicisti, per motivi assai legittimi, considerano come una medesima scala, declinata nelle sue versioni ascendente e discendente, viene visto matematicamente come una coppia di scale completamente diverse, benché associate alla stessa cardinalità (7) e anche alla stessa partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2).

Ed eccomi alla "piccola "scoperta". Ricordate la tabellina, riportata all'inizio della seconda parte, che restituisce il numero di possibili scale in funzione del numero di note costitutive? Ebbene, passando dal caso "degenere" di una sola nota al caso shönberghiano di 12 note, i numeri che si incontrano sono, rispettivamente, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1.


Già il fatto che in questa sequenza si parta da 1, si salga fino a 462 e poi, in maniera perfettamente speculare, si ridiscenda a 1 appare come una meravigliosa coincidenza.
Ma c'è qualcosa di ancora più sorprendente: i numeri di questa sequenza sono esattamente i numeri che costituiscono la dodicesima riga del famoso "triangolo di Pascal", più noto in Italia come "triangolo di Tartaglia".

Mi sembra di sentire le voci dei miei lettori: "Ah, sì, il triangolo di Tartaglia! Me lo ricordo, l'ho studiato al liceo. Ma non mi ricordo più come si costruisce, e tantomeno a che cosa serve..."
Come si costruisce il triangolo è presto detto. La prima riga è formata dal solo numero 1, mentre ogni numero delle righe inferiori è generato come somma dei due numeri superiori. Se il numero si trova ad uno degli estremi della riga, ed è quindi sovrastato soltanto da un 1, è anch'esso semplicemente un 1.
Ma a cosa serve questo strano triangolo? L'utilizzo più frequente è legato alla determinazione dei coefficienti dello sviluppo di un binomio (a+b) elevato a una potenza qualsiasi.
Se devo calcolare (a+b) elevato alla 12, trovo la dodicesima riga del triangolo (quella che inizia con 1, 11, 55, ...) e leggo i numeri che la formano: ecco, questi sono i coefficienti che mi servono.
Il matematico bresciano Nicolò Fontana, detto il Tartaglia per la sua balbuzie, descrisse il celebre triangolo nel suo General trattato di numeri et misure che uscì nel del 1556: molto prima del Traité du triangle arithmétique di Blaise Pascal, pubblicato nel 1665. Eppure, al di fuori dell'Italia, il triangolo dei coefficienti delle potenze del binomio viene chiamato triangolo di Pascal. La cosa strana è che Pascal fu l'ultimo di una lunga serie di matematici che si interessarono all'argomento: prima di lui ci fu Tartaglia, certo, ma anche il buon bresciano non fu un vero pioniere del triangolo, dato che nei secoli precedenti questo oggetto era stato già descritto e analizzato da matematici indiani, persiani, cinesi e tedeschi.

Tornando alla musica, accennavo poco fa che i numeri che quantificano le possibili scale, in funzione del numero di note costitutive della scala, si trovano disposti in bella evidenza sulla dodicesima riga del triangolo.
Perché proprio la dodicesima? Bè, è evidente: abbiamo ricavato le scale dalle partizioni del numero 12, cioè dai possibili modi di scrivere il 12 come somma di interi positivi. E questo non per un mio sfizio arbitrario, ma per il fatto che il sistema equabile suddivide l'ottava in 12 semitoni uguali. Se i semitoni di un'ottava fossero stati 8, saremmo ricaduti nella nona riga del celebre triangolo: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. E così via.

Non deve stupire che il triangolo di Tartaglia racchiuda in sé questa sequenza numerica di interesse musicale.

Non so se questa connessione tra musica e matematica sia stata già osservata da altri in precedenza. Ma è un dato di fatto che il triangolo di Tartaglia sia una miniera di infinite regolarità e sorprendenti connessioni.
La fascinazione di Tartaglia per il "suo" triangolo, così come quella di Pascal e di molti altri ricercatori, fu proprio legata all'inaspettata ricchezza che si sprigiona dalle righe del triangolo: numeri triangolari, tetraedrici, pentatopici, poligonali, di Fibonacci, di Catalan, si possono trovare tutti all'interno del triangolo (sapendoli cercare, ovvio). E perfino i frattali sono connessi a questa semplice struttura.

Ma non divaghiamo: quando si comincia a navigare tra i numeri del triangolo di Tartaglia il rischio di perdersi, di naufragare e di approdare a chissà quale costa è molto alto, mentre la "piccola "scoperta" di cui volevo parlarvi riguardava soltanto un legame tra le scale musicali e i numeri del triangolo. E' una piccola e semplice connessione, anche se a me pare davvero meravigliosa.

giovedì 14 maggio 2015

Carnevale della matematica #85 su Notiziole di .mau.

Stranamente questo mese riesco a segnalare l'uscita del Carnevale della Matematica il giorno stesso.
D'altra parte il Carnevale non ha certo bisogno di un Mr. Palomar qualsiasi che lo promuova, dato che è giunto ormai alla veneranda età di ottantacinque edizioni in salute perfetta e anzi via via migliore.
Il "facilitatore" di maggio è il Fondatore stesso della gloriosa celebrazione, Maurizio Codogno detto .mau., che ospita il Carnevale sulle sue Notiziole, regalandoci una carrellata di grande interesse e confezionata con maestria.

Mi si conceda un piccolo appunto, di carattere campanilista e nostalgico: non è stato menzionato che il numero dell'edizione, 85, corrisponde all'anno dello scudetto dell'Hellas Verona (come sapete sono nato nella città di Romeo e Giulietta), del quale, guarda caso, ricorre il trentennale proprio in questi giorni. Ma pazienza (ovviamente scherzavo).
Per il resto, il Carnevale merita una lettura, a partire dalla sbarazzina citazione gaussiana ("zampettando tra i cespugli”), accompagnata dalla sua brava versione musicale.

Il contributo di questo blog al Carnevale di maggio è uno e bino, e corrisponde al mio bi-post sul numero delle scale musicali esistenti.Come riportato nel post carnevalizio:

La faccenda è, ovviamente, essenzialmente matematica, ma anche strettamente collegata alla storia della musica del Novecento, in particolare alla ricerca di Olivier Messiaen e ai suoi “modi a trasposizione limitata”.

Dunque complimenti a .mau. e a tutti i partecipanti. E appuntamento a giugno con il Carnevale numero 86, che sarà ospitato da Spartaco Mencaroni sul suo blog Il coniglio mannaro, con il tema "Matematica, amore e fantasia".

lunedì 11 maggio 2015

Quante scale musicali esistono? (seconda parte)

Nella prima parte di questo post ho raccontato come sia possibile "contare" le scale musicali possibili. Il conteggio finale è contenuto nella tabella che ho riportato alla fine del post precedente, e che per comodità ripropongo di seguito: le scale in tutto risultano essere 2048.


La "cardinalità" di una scala, cioè il numero di note che essa contiene, può variare tra 1 e 12, perché 12 sono i semitoni di un'ottava, ovvero gli intervalli più piccoli ammessi dal sistema occidentale equabile.
Per ogni possibile cardinalità della scala, come ho mostrato nella prima parte, esiste un certo numero di possibili partizioni del 12, ovvero modi di sommare più numeri per ottenere un totale di 12, il che equivale a dire che esiste un certo numero di modi di suddividere l'ottava in più intervalli, ciascuno formato da uno o più semitoni. Per complicare le cose, da ogni partizione possono derivare, in generale, più note, perché è importante anche l'ordine in cui si succedono gli intervalli che suddividono l'ottava.

Per esempio, abbiamo un'unica scala costituita da una nota, che naturalmente è di ben scarso interesse pratico:


Con due suoni abbiamo invece 6 possibili partizioni, e 11 scale in tutto:


Le scale di tre note sono in tutto 55, e originano da 12 possibili partizioni:


Esistono poi 15 partizioni di cardinalità 4, e le scale possibili sono in tutto 165:


Con un numero di note compreso tra 1 e 4 possiamo costruire scale il cui valore musicale è abbastanza limitato. Potendo invece disporre di cinque suoni possiamo finalmente costruire qualcosa di molto più interessante. In tutto le partizioni sono 13, e le scale possibili 330:


Per esempio la scala pentatonica cinese, caratterizzata dagli intervalli (2, 2, 3, 2, 3), rappresenta una delle 10 permutazioni dell'ultima partizione indicata.

Anche le scale di sei note sono musicalmente molto importanti. In questo caso abbiamo 11 partizioni e 462 scale possibili:


In questa famiglia rientra, per esempio, la scala esatonale di Debussy (di cui ho parlato su Radio 3 Scienza nel 2012): essa corrisponde alla partizione (2, 2, 2, 2, 2, 2), che ammette un'unica permutazione. Anche la scala blues è formata da sei note: essa è caratterizzata dagli intervalli 3, 2, 1, 1, 3, 2, che derivano da una delle 90 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 3, 3).

Le scale eptafoniche, formate cioè da sette note, sono le più usate nella tradizione musicale occidentale moderna. Anche in questo caso abbiamo 462 scale possibili, ma le partizioni di origine sono 7:


Particolare importanza assumono le scale associate alle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): due di esse, corrispondenti alle permutazioni (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) e (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2), prendono rispettivamente il nome di scala diatonica maggiore e scala diatonica minore. Quasi tutta la musica che avete finora ascoltato si basa su queste due scale. Tutte le altre 2046 scale sono di gran lunga meno utilizzate.
Scale formate da otto note sono state impiegate nel Novecento da molti compositori colti e da jazzisti. In tutto abbiamo 5 partizioni e 330 scale possibili:


Una di esse è la cosiddetta scala alternata, associata alla permutazione (2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1), una delle 70 possibili della partizione (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2).
Con nove note le partizioni scendono a 3, per un totale di 165 scale:


Le scale di dieci note sono in tutto 55, derivanti da 2 possibili partizioni:


Con undici note abbiamo una sola partizioni e 11 scale possibili:


Infine, volendo impiegare tutte e 12 le note di un'ottava, abbiamo una sola scala possibile: la scala cromatica o dodecafonica, tanto cara a Shoenberg e ai suoi adepti:


Tuttavia, come facevo notare, il conteggio che ho effettuato, e che ci ha portato al numero complessivo di 2048, non tiene conto del fatto che ogni scala può, a sua volta, essere trasposta da un'ottava di riferimento a un'altra, il che moltiplicherebbe di molto il numero di scale possibili.
Prendiamo una scala qualsiasi, per esempio quella associata alla partizione 12 = 6 + 6, che abbiamo visto essere una soltanto. Supponiamo che la nostra ottava di riferimento sia quella che inizia con il do centrale del pianoforte (che chiamerò Do4, per indicare che appartiene all'ottava del pianoforte convenzionalmente etichettata con il numero 4). La nostra scala di due note sarà quindi formata dal Do4 e dalla nota che si trova 6 semitoni più in alto, cioè il Fa#4.
Cosa succede se l'ottava di riferimento viene traslata di un semitono verso l'acuto? Le due note della scala saranno il Do#4 e il Sol4. E se l'ottava di riferimento fosse invece esattamente un'ottava più in alto rispetto al primo caso? Le note diventerebbero Do5 e Fa#5: i nomi delle note sono gli stessi del primo caso, ma all'ottava superiore.

Quale conclusione possiamo trarre da questi ragionamenti? Ognuna delle 2048 scale può essere agganciata a una arbitraria ottava, ragion per cui il numero reale delle possibili scale dovrebbe essere 2048 moltiplicato per il numero di note possibili, o per lo meno per il numero delle note che possiamo suonare su un pianoforte.
Il numero che otterremmo in questo modo sarebbe davvero molto grande. Per fortuna possiamo ridurre questa quantità assumendo per convenzione che note caratterizzate dallo stesso nome (benché su ottave diverse) vengono considerate la stessa nota: grazie a tale ipotesi, la prima e la seconda scala descritte poco sopra (Do4 - Fa#4 e Do#4 - Sol4) sono effettivamente scale diverse, mentre la terza scala (Do5 - Fa#5) viene considerata equivalente alla prima, anche se traslata di un'ottava.
Questo sembra autorizzarci ad affermare che il numero reale delle possibili scale musicali è dato semplicemente da 2048 moltiplicato per 12 (che sono le note comprese all'interno di una singola ottava), cioè da 24576. Ma siamo certi della correttezza di questa conclusione?

Analizziamo meglio la questione. Riconsideriamo la scala vista prima, corrispondente alla partizione 12 = 6 + 6, cioè la scala Do4 - Fa#4. Se la trasponiamo di 6 semitoni più in alto, otteniamo la scala Fa#4 - Do5. Dato che abbiamo stabilito convenzionalmente che Do5 e Do4 sono la stessa nota, abbiamo in realtà ritrovato la scala di partenza, cioè Do4 - Fa#4.
Questo significa che non necessariamente ognuna delle 2048 scale genera 12 scale distinte, perché in alcuni casi (come quello appena visto) tra le 12 traslazioni si trovano dei doppioni, cioè si incontra più volte la stessa scala.

Il fenomeno matematico che ho descritto è strettamente legato ai "modi a trasposizione limitata" studiati da Olivier Messiaen. In generale, un modo a trasposizione limitata è una scala, cioè un insieme di note di un'ottava, che rimane invariato se le note costitutive vengono tutte trasposte verso l'alto o verso il basso di un certo numero di semitoni.
Si può facilmente dimostrare che questa proprietà viene soddisfatta da una scala se e solo se essa è associata a una partizione dell'ottava in cui gli intervalli sono raggruppati in parti uguali dell'ottava stessa.
Per esempio, la partizione 12 = 6 + 6, come abbiamo visto, dà sicuramente origine a un modo a trasposizione limitata, e in effetti ci troviamo in presenza di due parti uguali dell'ottava.
Ma otteniamo ugualmente modi a trasposizione limitata se al posto di uno o di entrambi i 6 mettiamo un gruppo di intervalli che copre complessivamente sei semitoni, ovvero 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 1+4+1, 1+1+4, 4+1+1, 1+3+2, 3+2+1, 2+1+3, 1+2+3, 2+3+1, 3+1+2, 2+2+1+1, 1+1+2+2, 1+2+2+1, 1+2+1+2, 2+1+2+1, 2+1+1+2, 1+1+3+1, 1+1+1+3, 1+3+1+1, 3+1+1+1, 1+1+1+2+1, 1+1+1+1+2, 1+1+2+1+1, 1+2+1+1+1, oppure 2+1+1+1+1.
Le altre partizioni che generano modi a trasposizione limitata sono le seguenti:
  • 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1;12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
  • 12 = 3 + 3 + 3 + 3, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 3 con 1+2, o con 2+1;
  • 12 = 4 + 4 + 4, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 4 con 1+3, o con 3+1, o con 2+1+1, o con 1+2+1, o con 1+1+2;
  • 12 = 12.
Tra tutte queste scale, matematicamente a trasposizione limitata, nel suo libro "Technique de mon langage musical", Messiaen evidenziò le sette da lui preferite, che meglio si adattavano alla sua sensibilità compositiva:
  • Primo modo: 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (2 trasposizioni possibili)
  • Secondo modo: 12 = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 oppure 12 = 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 (3 trasposizioni possibili)
  • Terzo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 (4 trasposizioni possibili)
  • Quarto modo: 12 = 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 (6 trasposizioni possibili)
  • Quinto modo: 12 = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 (6 trasposizioni possibili)
  • Sesto modo: 12 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 oppure 12 = 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 (6 trasposizioni possibili)
  • Settimo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 (6 trasposizioni possibili)
Di seguito i sette modi a trasposizione limitata di Messiaen sono mostrati tramite notazione musicale:



Dalle considerazioni esposte in questi due post, così pure come in quello che pubblicai qualche tempo fa, appare chiaro quanto forte sia stato il legame tra Olivier Messiaen e la matematica. Non sorprenderà quindi scoprire che il compositore francese era amico dei fratelli Cartan, in particolare Jean, anche lui compositore, ed Henri, illustre matematico.
Henri Cartan, uno dei componenti del gruppo di matematici francesi che nel secolo scorso utilizzarono il nome fittizio e illustre di Nicolas Bourbaki, morì nel 2008 alla veneranda età di 104 anni, mentre il fratello Jean ebbe un destino diametralmente opposto: si spense giovanissimo nel 1932, a causa della tubercolosi.
La foto a lato mostra la famiglia Cartan al completo: in piedi il padre dei Cartan, Élie Joseph Cartan, anche lui matematico, quindi Henri Cartan e la madre; in primo piano, il fratelli Louis, Helene (che diventò anche lei matematica) e Jean.